Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы
Шрифт:
19.16. Воспользоваться методом математической индукции, что позволит доказать формулы для аn и bn.
19.17. Решив данное тригонометрическое уравнение, получим две серии углов, каждая из которых является арифметической прогрессией с известной разностью и первым членом, равным нулю. В каком случае две арифметические прогрессии могут быть объединены в одну?
K главе 20
20.1. Данное неравенство эквивалентно такому:
1/2^2 + ... + 1/n^2 < 1.
Оценить каждое слагаемое так, чтобы легко было оценить всю сумму, стоящую слева.
20.2. Домножить все члены на d.
20.3. Чтобы разложить дробь
20.4. Слева стоит сумма членов геометрической прогрессии.
20.5. Выписать все коэффициенты многочлена 1 + x + 2x^2 + ... + nxn и под ними написать коэффициенты того же многочлена, записанные в обратном порядке. Рассмотреть сумму произведений стоящих друг под другом чисел.
20.6. В левой части неравенства стоит абсолютная величина суммы членов бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем -2x.
20.7. Каждое слагаемое k · k! можно представить в виде (k + 1)k!
– k(k– 1)!. При этом следует иметь в виду, что 0! = 1. (!)
20.8. Коэффициенты в правой части образуют арифметическую прогрессию с разностью 3. Если домножить Sn на x^2, то справа получим сумму, все члены которой, кроме крайних, имеют коэффициент, отличающийся от подобного коэффициента Sn на 3.
20.9. Рассмотреть тождество
(x + 1)5 = x5 + 5x4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1
и положить в нем последовательно x = 1, 2, ..., n.
20.10. В n– й группе n членов. Рассмотрите отдельно случаи, когда n четное и n нечетное.
20.11. Удобнее найти 2Sn sin /2n.
20.12. Можно разбить эту сумму на 1 00 сумм:
каждая из которых является суммой членов геометрической прогрессии. Однако попытайтесь решить эту задачу проще, обозначив искомую сумму через в и осуществив над ней некоторое несложное преобразование.
20.13. Общий член ряда имеет вид
K главе 21
21.1. Если все, сидящие за круглым столом, одновременно сдвинуться на один стул в одном направлении, то у каждого останутся те же самые соседи.
21.2. Представить искомое число в виде разности числа всех перестановок из пяти элементов и перестановок, не удовлетворяющих условиям задачи.
21.3. Три разряда каждого числа должны быть заняты двойками. В оставшиеся четыре разряда можно поместить любые из восьми цифр, что даст 84 вариантов.
21.4. Задачу следует начать решать в предположении, что есть разные цифры l1, l2 и l3, которые входят в каждое число, а остальные пять цифр равноправны.
21.5. Легче найти число всевозможных размещений экскурсантов по каютам в предположении, что каюты неравноценны. Пусть таких размещений будет N, а размещений, о которых идет речь в задаче, K. Поскольку из каждого размещения экскурсантов по равноценным каютам можно получить 8! размещений по неравноценным каютам, то K · 8! = N.
21.6. В записи k– го члена суммы произвести сокращение на k.
21.7. Нужно найти такие n, для которых равенство
выполняется при некотором k.
21.8. Представить а + b + с + d в виде (а + b) + (с + d) и осуществить возведение в n– ю степень по правилам возведения в степень двучлена.
21.9. Коэффициент при xk будет равен числу членов, содержащих xk при почленном перемножении двух одинаковых многочленов. Придется различать случай, когда члены, содержащие xk, могут быть получены в результате умножения друг на друга членов суммы 1 + x + x^2 + ... + xk– 1 + xk (0 <= k <= n– 1), от случая, когда n– 1 < k <= 2(n– 1).
21.10. Записать выражение для общего члена разложения и сравнить с выражением для десятого члена разложения.
21.11. Сгруппировать члены внутри скобки и последовательно дважды применить формулу бинома.
21.12. Если обозначить через Рn число способов, которыми можно разбить на группы последовательность из n элементов, то можно получить рекуррентную формулу для Рn.