Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы
Шрифт:
11.15. Вид уравнения подсказывает, что для его решения удобно перейти к логарифмам с общим основанием x. Равносильное ли получится уравнение?
11.16. В уравнение входят логарифмы выражения 3 + x при разных основаниях. Его можно упростить, если воспользоваться формулой
11.17. При решении удобнее следить за равносильностью, чем делать в конце проверку, которая окажется здесь достаточно громоздкой.
11.18. Если logbx записать при основании а, то уравнение упростится.
11.19. Если в каждом из подкоренных выражений произвести логарифмирование с переходом к общему основанию а, то это позволит выделить под радикалами полные квадраты. Очевидно, такие же ограничения, как на а, должны быть наложены и на x.
11.20. Система не может иметь решений, в которых хотя бы одно неизвестное обращается в нуль (докажите). Следовательно, каждое уравнение можно прологарифмировать.
11.21. Поскольку нам известно, чему равно xу, то второе уравнение целесообразно возвести в степень у.
11.22. Из вида системы следует, что x и у положительны. Так как в левых частях уравнений одинаковые показатели степени, то целесообразно попытаться их найти.
11.23. Так как 11xz : 11z = 11(x– 1)z, то с помощью этого соотношения можно получить уравнение относительно
11.24. Так как коэффициенты в левых частях уравнений одинаковы (двойку во втором уравнении можно убрать, прибавив единицу к показателю степени), то целесообразно посмотреть, нет ли у левых частей общего множителя.
11.25. Вначале нужно перейти к общему основанию у логарифмов, а затем получить систему двух алгебраических уравнений.
11.26. Способ 1. Систему можно решить подстановкой, выразив из второго уравнения у через x.
Способ 2. Воспользоваться равенством аlogbc = сlogbа .
11.27. Решение системы нужно начать с использования ограничений, что позволит сократить число рассматриваемых случаев.
Из второго уравнения следует, что x и у — величины одного знака. Поскольку должен существовать log2 (x + у), то x и у положительны. Сумму x + у легко сравнить с единицей.
11.28. Это — алгебраическая система относительно u = log2x и v = log2(у + 1). (!)
11.29. Оба уравнения можно упростить с помощью формулы
logakN = 1/k logaN (а > 0, а /= 1).
11.30. Первые два уравнения можно рассматривать как систему относительно соответствующих степеней тройки. Нетрудно заметить, что это позволит найти x.
K главе 12
12.1. Выражения, стоящие в квадратных скобках, существенно упростятся, если раскрыть скобки и выполнить возведение в степень. (!)
12.2. Это тождество по структуре похоже на формулу тангенса суммы. Чтобы заметить это, достаточно переписать его так:
tg 2 [tg (30° - ) + tg (60° - )] = 1 - tg (60° - ) tg (30° - ).
12.3. Перенести ctg x в левую часть и преобразовать вместе с 1/2 tg x/2.
12.4. Поскольку нам нужно получить соотношение, в котором участвуют + и , то вместо sin удобно записать sin [( + ) - ] и воспользоваться формулой синуса разности. (!)
12.5. Домножить и разделить на 2 sin /7 и воспользоваться формулой синуса двойного угла. (!)
12.6. Вычислить произведение косинусов этих углов можно, если домножить и разделить его на 2 sin /7. После этого нужно трижды последовательно воспользоваться формулой синуса двойного угла (см. задачу 12.5).
12.7. Удобнее доказать, что правая часть равна левой. Для этого стоящее в правой части выражение нужно преобразовать с учетом данных равенств.
12.8. В произведении sin (x + у) sin (x– у) удобно раскрыть синус суммы и синус разности.
12.9. Выразить дробь, стоящую в правой части последнего равенства, через синусы и косинусы и .
12.10. Данное выражение и выражение, которое нужно вычислить, симметричны относительно , и . Левую часть данного равенства удобно выразить через sin^2, sin^2, sin^2.
12.11. Подставить = + /3, = + 2/3 и записать данное выражение через синусы и косинусы.
12.12. Так как ctg , ctg и ctg образуют арифметическую прогрессию, то ctg + ctg = 2 ctg . Если теперь вспомнить, что = /2– ( + ), то можно получить соотношение, не зависящее от ctg + ctg . (!)
12.13. cos 106° = cos (90° + 16°) = -sin 16° = -2 sin 8° cos 8°.
K главе 13
13.1. Множитель 2 sin (x + /4) замените на sin x + cos x.
13.2. Левую часть можно преобразовать так, чтобы она содержала множителем выражение, стоящее в правой части.
13.3. Выразить левую часть уравнения через sin x и cos x так, чтобы оказалось возможным разложение ее на множители.