Чтение онлайн

13.38. Левую часть первого уравнения можно преобразовать в разность sin (x– у) - cos (x + у). Из второго уравнения определяется cos (x + у).

13.39. Правая часть уравнения не может стать больше четырех. Если ввести обозначения tg^2 x = u, tg^2 у = v, то нетрудно заметить, что левая его часть не может стать меньше четырех.

13.40. Способ 1. Умножить sin^2 x на тригонометрическую единицу sin^2 3x + cos^2 3x и сгруппировать члены, содержащие sin^2 3x.

Способ 2. Перенести все члены в левую часть и выделить полный квадрат разности 2 sin x– sin^2 3x. Оставшиеся члены образуют неотрицательное выражение.

13.41. Способ 1. Преобразовать сумму тригонометрических функций cos x + cos у в произведение, а cos (x + у) выразить через косинус половинного аргумента.

Способ 2. Раскрыть cos (x + у) по формуле косинуса суммы.

13.42. Вопрос задачи естественно поставить следующим образом: при каких а и b равенство

tg x + tg (а– x) + tg x tg (а– x) = b

является тождеством (неабсолютным)?

13.43. Вначале следует попытаться оценить снизу левую часть уравнения, так как верхняя оценка правой части очевидна:

12 + 1/2 sin у <= 12,5.

13.44. Перенести sin Зx в левую часть уравнения и преобразовать sin x– sin Зx к виду, удобному для логарифмирования.

13.45. После раскрытия скобок произвести упрощения.

13.46. Условие записано таким образом, что введение нового неизвестного

является очевидным шагом к решению уравнения. Мы придем к квадратному уравнению относительно у.

13.47. В задаче требуется решить систему двух уравнений с одним неизвестным и выбрать решения, удовлетворяющие ограничению |x| < 5. Было бы заблуждением пытаться свести эти два уравнения в одно с помощью подстановки или какого-либо другого преобразования. Можно решить каждое в отдельности и отыскать общие корни. Однако попытайтесь использовать особенности данной системы.

13.48. Так как выражений, схожих с cos 6x/5 , в условии больше нет, то, скорее всего, cos 6x/5 преобразовывать не следует. В числителе левой части tg x естественно вынести за скобки. Выражение 3 - tg^2x, оставшееся в скобках, удобнее преобразовать, заменив tg^2 x на

13.49. Воспользуйтесь тем, что

13.50. Разбить 4 ctg 2x на слагаемые и в левой части образовать выражения 2(tg x + ctg 2x), tg x/2 + ctg 2x, ctg 2x– ctg Зх. Преобразовать каждое из этих выражений и затем преобразовать все уравнения к равной нулю дроби, у которой числитель и знаменатель — произведения тригонометрических функций.

13.51. Сделайте преобразование, имея в виду, что sin t /= 0, cos t /= 0, и воспользуйтесь соотношениями:

14.1. Если обе части неравенства возвести в квадрат, то получим равносильное неравенство. (!)

14.2. Использовать тот же прием, что и при решении уравнения cos x– sin x = -1, т. е. ввести вспомогательный угол. (!)

14.3. Способ 1. Можно перейти к неравенству относительно tg x. При этом придется рассмотреть различные случаи, в зависимости от знака cos x. (!)

Способ 2. Если синус и косинус выразить через tg x/2, то получим квадратное неравенство. Равносильно ли оно данному? (!)

14.4. Если cos 2x и sin 2x выразить через tg x и обозначить tg x = y, то получится простое алгебраическое неравенство. Равносильно ли оно данному?

14.5. Способ 1. Можно перейти к совокупности двух систем: cos x и tg 2x должны быть нестрого (т. е. включая нуль) разных знаков.

Способ 2. Воспользоваться формулой тангенса двойного угла. Равносильное ли получится неравенство?

14.6. Неравенство можно привести к алгебраическому, если выразить все тригонометрические функции через cos x. (!)

14.7. Если записать sin 2x = 2 sin x cos x и перенести все члены неравенства в одну часть, то получим однородное выражение относительно sin x и cos x. Разделив на cos^2 x, получим алгебраическое неравенство относительно y = tg x. Равносильно ли оно данному? (!)

14.8. Вычислить дискриминант и выяснить, когда он положителен.

14.9. Неравенство может выполняться только при sin x >= 0 и cos x >= 0. Приняв во внимание эти ограничения, его можно возвести в квадрат. (!)

14.10. Записать решение неравенства в предположении, что

14.11. Привести к неравенству относительно одной тригонометрической функции.

14.12. Перенести -1 в левую часть, записать тангенсы через синусы и косинусы и выполнить сложение.

14.13. Это — иррациональное неравенство относительно у = cos x. Не следует забывать, что |у| <= 1. Благодаря этому решение можно упростить.

14.14. Если выразить sin x и cos x через tg x/2 , то получим алгебраическое неравенство, которое решается методом интервалов. (!)