Чтение онлайн

Следует иметь в виду, что коэффициенты корреляции не являются аддитивными: усредненный коэффициент корреляции, вычисленный по нескольким выборкам, не совпадает со средней корреляцией во всех этих выборках. Причина в том, что коэффициент корреляции не является линейной функцией величины зависимости между переменными. Коэффициенты корреляции не могут быть просто усреднены. Для получения среднего коэффициента корреляции следует преобразовать коэффициенты корреляции каждой выборки в такую меру зависимости, которая будет аддитивной. Например, до того как усреднить коэффициенты корреляции, их можно возвести в квадрат, получить коэффициенты детерминации, которые уже будут аддитивными. Если необходимо выявить различия средних в нескольких исследуемых группах, то подходящим является однофакторный дисперсионный анализ, дающий различие дисперсий. Дисперсионный анализ – это статистический метод изучения влияния отдельных переменных на изменчивость измеряемой (исследуемой) переменной.

Апостериорные сравнения средних после получения статистически значимого результата в дисперсионном анализе позволяют узнать, какие средние вызвали наблюдаемый эффект. Процедуры апостериорного сравнения специально рассчитаны так, чтобы учитывать более двух выборок. Группировку с дискриминант–ным анализом можно рассматривать как первый шаг к другому типу анализа – дискриминативному, который исследует различия между группами с помощью значений независимой переменной. Именно, в дискриминантном анализе находят такие линейные комбинации зависимых переменных, которые наилучшим образом определяют принадлежность наблюдения к определенному классу, причем число классов задается заранее.

Дискриминантный анализ используется для принятия решения о том, какие переменные различают (дискриминируют) две или более возникающие совокупности (группы). Например, некий исследователь в области образования может захотеть исследовать, какие переменные относят выпускника средней школы к одной из трех категорий: 1) поступающий в колледж; 2) поступающий в профессиональную школу; 3) отказывающийся от дальнейшего образования или профессиональной подготовки. Для этой цели исследователь может собрать данные о различных переменных, связанных с учащимися школы. После выпуска большинство учащихся, естественно, должны попасть в одну из названных категорий. Затем можно использовать дискриминантный анализ для определения того, какие переменные дают наилучшее предсказание выбора учащимися дальнейшего пути. Например, предположим, что имеются две совокупности выпускников средней школы – те, кто выбрал поступление в колледж, и те, кто не собирается это делать. Если средние для двух совокупностей (тех, кто в настоящее время собирается продолжить образование, и тех, кто отказывается) различны, то это позволяет разделить учащихся на тех, кто собирается и кто не собирается поступать в колледж (и эта информация может быть использована членами школьного совета для подходящего руководства соответствующими учащимися).

Дисперсионный анализ, в частности, позволяет выявить, являются ли две или более совокупности значимо отличающимися одна от другой по среднему значению какой–либо конкретной переменной. Для изучения вопроса о том, как можно проверить статистическую значимость отличия в среднем между различными совокупностями, должно быть ясно, что если среднее значение определенной переменной значимо различно для двух совокупностей, то переменная их разделяет.

При применении дискриминантного и дисперсионного анализа обычно имеются несколько переменных, и задача состоит в том, чтобы установить, какие из них вносят существенный вклад в дискриминацию между совокупностями. Если анализируется влияние нескольких переменных, то проводится пошаговый факторный анализ. В пошаговом анализе модель дискриминации (дискриминантных функций) строится по шагам. Точнее, на каждом шаге просматриваются все переменные и находится та из них, которая вносит наибольший вклад в различие между совокупностями. Эта переменная должна быть включена в модель на данном шаге, а далее осуществляется переход к следующему шагу. В общем, получается линейное уравнение типа:

Группа = a + b 1 x 1 + b 2 x 2 + … + b m x m ,

где a – константа, и b1, ..., bm – коэффициенты регрессии. Интерпретация результатов задачи с двумя совокупностями следует логике применения множественной регрессии: переменные с наибольшими регрессионными коэффициентами вносят наибольший вклад в дискриминацию.

Главными целями факторного анализа являются сокращение числа переменных (редукция данных) и определение структуры взаимосвязей между переменными, т.е. классификация переменных. Поэтому факторный анализ используется или как метод сокращения данных, или как метод классификации (Wherry, 1984). Факторный анализ рассматривается как метод редукции данных. Например, измерение роста людей в дюймах и сантиметрах: имеются две переменные. Если исследовать, например, влияние различных пищевых добавок на рост, нужно ли использовать обе переменные? Вероятно, нет, так как рост является одной характеристикой человека, независимо от того, в каких единицах он измеряется. Итак, фактически сократили число переменных и заменили две одной. Если пример с двумя переменными распространить на большее число переменных, то вычисления становятся сложнее, однако основной принцип представления двух или более зависимых переменных одним фактором остается в силе.

Факторный анализ как метод классификации включает как анализ главных компонентов, так и анализ главных факторов. Чтобы проиллюстрировать, каким образом это может быть сделано, производятся действия в обратном порядке, т. е. начинают с некоторой осмысленной структуры, а затем смотрят, как она отражается на результатах. Действительные значения факторов можно оценить для отдельных наблюдений путем выделения главных факторов. На языке факторного анализа доля дисперсии отдельной переменной, принадлежащая общим факторам, называется общностью. Поэтому дополнительной работой, стоящей перед исследователем при применении этой модели, является оценка общностей для каждой переменной, т.е. доли дисперсии, которая является общей для всех пунктов. Доля дисперсии, за которую отвечает каждый пункт, равна тогда суммарной дисперсии, соответствующей всем переменным, минус общность.

Основное различие двух моделей факторного анализа состоит в том, что в анализе главных компонент предполагается, что должна быть использована вся изменчивость переменных, тогда как в анализе главных факторов используется только изменчивость переменной, общая и для других переменных. Анализ главных компонент часто более предпочтителен как метод сокращения данных, в то время как анализ главных факторов лучше применять с целью определения структуры данных.

Для определения того, к какой группе наиболее вероятно может быть отнесен каждый объект, предназначены функции классификации, их выделяется столько же, сколько требуется групп по общим признакам. Каждая функция позволяет для каждого образца и для каждой совокупности вычислить веса классификации по формуле:

Si= ci+ wi1 · x1+wi2 · x2+ ... + wim · xm,

где Si – результат показателя классификации; обозначает соответствующую совокупность, а индексы 1, 2, ..., m обозначают m переменных; ci – константы для i – й совокупности, wij – веса для j – й переменной при вычислении показателя классификации для i – й совокупности; Xj – наблюдаемое значение для соответствующего образца j – й переменной. Можно использовать функции классификации для прямого вычисления показателя классификации для всех значений переменных. Расчет показателей классификации позволяет производить классификацию наблюдений.

На практике исследователю необходимо задать себе вопрос, является ли неодинаковое число наблюдений в различных совокупностях в первоначальной выборке отражением истинного распределения или это только (случайный) результат процедуры выбора. В первом случае используются априорные вероятности пропорционально объемам совокупностей в выборке; во втором – априорные вероятности одинаковы для каждой совокупности. Спецификация различных априорных вероятностей может сильно влиять на точность классификации. Для увеличения точности классификаций используются апостериорные вероятности – это вероятности, вычисленные с использованием знания значений других переменных для образцов из частной совокупности. В последнее время созданы программные пакеты, автоматически вычисляющие апостериорные вероятности для различных видов наблюдений. Общим результатом является матрица классификации.

При повторной итерации апостериорная классификация того, что случилось в прошлом, не очень трудна. Нетрудно получить очень хорошую классификацию тех образцов, по которым была оценена функция классификации. Для получения сведений, насколько хорошо работает процедура классификации на самом деле, следует классифицировать (априорно) различные наблюдения, которые не использовались при оценке функции классификации, гибко использовать условия отбора для включения их в число наблюдений или, напротив, исключения. Матрица классификации может быть вычислена по старым образцам столь же успешно, как и по новым. Но только классификация новых наблюдений позволяет определить качество функции классификации, классификация старых наблюдений позволяет лишь провести успешную диагностику наличия выбросов или области, где функция классификации кажется менее адекватной.