Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
4C
+
K
d
dt
dF
dt
+
d
dx
+
^2F
+
dJ
dx
=
0,
4C
+
K
d
dt
dG
dt
+
d
dy
+
^2G
+
dJ
dy
=
0,
4C
+
K
d
dt
dH
dt
+
d
dz
+
^2H
+
dJ
dz
=
0,
(7)
Это общие уравнения для электромагнитных возмущений.
Если мы продифференцируем эти уравнения по x, y и z соответственно и сложим, то получим
4C
+
K
d
dt
dJ
dt
–
^2
=
0.
(8)
Если среда непроводящая, то C=0, а член ^2, пропорциональный объёмной плотности свободного электричества, не зависит от t. Следовательно, величина J должна быть либо линейной функцией t, либо постоянной, либо нулём; поэтому при рассмотрении периодических возмущений мы можем не учитывать J и .
Распространение волн в непроводящей среде
784. В этом случае C=0, и уравнения принимают вид
K
d^2F
dt^2
+
^2F
=
0,
K
d^2G
dt^2
+
^2G
=
0,
K
d^2H
dt^2
+
^2H
=
0.
(9)
В этом виде уравнения сходны с уравнениями движения несжимаемого упругого твёрдого тела, и при заданных начальных условиях их решение можно выразить в форме, данной Пуассоном 2 и применённой Стоксом 3 к теории дифракции.
2 М'eт. de l’Acad., t. III, p. 130, et seq.
3Cambridge Transactions, vol. IX, p. 1-62 (1849).
Запишем
V
=
1
K
(10)
Если значения F, G, H и dF/dt, dG/dt, dH/dt заданы в каждой точке пространства в момент (t=0), то мы можем определить их значения в любой последующий момент времени следующим образом.
Пусть O будет точка, в которой мы желаем определить F в момент времени t. Опишем сферу с центром в точке O и радиусом Vt. Найдём начальное значение F в каждой точке сферической поверхности и возьмём среднее от всех этих значений F. Найдём также начальные значения dF/dt в каждой точке сферической поверхности, и пусть среднее от всех этих значений будет dF/dt.
Тогда значение F в точке O в момент времени t будет равно:
F
=
d
dt
(
F
t)
+
t
dF
dt
.
Аналогично
G
=
d
dt
(
G
t)
+
t
dG
dt
,
H
=
d
dt
(
H
t)
+
t
dH
dt
.
(11)
785. Таким образом, оказывается, что картина в точке O в произвольный момент времени зависит от той картины, которая имела место на расстоянии Vt в момент времени, предшествующий рассматриваемому и отделённому от него интервалом t, т.е. любое возмущение распространяется через среду со скоростью V.
Предположим, что, когда t равно нулю, величины A и A равны нулю везде, за исключением некоторого объёма S. Тогда их значения в точке O в момент времени t будут равны нулю, если только сферическая поверхность с центром в точке O и радиусом Vt не лежит целиком или частично внутри объёма S. Если O находится вне объёма S, возмущений в точке O не будет до тех пор, пока Vt не станет равным кратчайшему расстоянию от O до объёма S. Тогда в точке O возникнет возмущение и будет продолжаться до тех пор, пока Vt не станет равным максимальному расстоянию от O до произвольной части S. В этот момент возмущение в O прекратится навсегда.
786. Величина V в п. 784, выражающая скорость распространения электромагнитных возмущений в непроводящей среде, в соответствии с уравнением (10) равна 1/K.
Если средой является воздух и мы примем электростатическую систему измерений, то K=1, а =1/v^2 так что V=v, т.е. скорость распространения численно равна числу электростатических единиц электричества в одной электромагнитной единице. Если мы примем электромагнитную систему, то K=1/v^2, а =1, так что уравнение V=v по-прежнему остаётся верным.
По теории, согласно которой свет является электромагнитным возмущением, распространяющимся в той же самой среде, через которую передаются и другие электромагнитные действия, величина V должна быть скоростью света, т.е. величиной, значения которой оценивались несколькими способами. С другой стороны, v является числом электростатических единиц электричества в одной электромагнитной единице; методы определения этой величины описаны в последней главе. Они совершенно независимы от методов отыскания скорости света. Следовательно, совпадение или расхождение значений V и v обеспечивает проверку правильности электромагнитной теории света.
787. В приведённой таблице основные результаты непосредственного измерения скорости света (как в воздухе, так и в межпланетном пространстве) сопоставляются с основными результатами сравнения электрических единиц:
Скорость света
(в метрах в секунду)
Отношение
электрических единиц
(в метрах в секунду)
Физо
314 000 000
Вебер
310 740 000
Аберрация и т.д.,
параллакс Солнца
308 000 000
Максвелл
288 000 000
Фуко
298 360 000
Томсон
282 000 000
Очевидно, что скорость света и отношение единиц являются величинами одного и того же порядка. Ни про одну из них нельзя сказать, что она определена с такой степенью точности, которая позволила бы нам утверждать, что одна из них больше или меньше, чем другая. Следует надеяться, что в будущих экспериментах соотношение между значениями этих двух величин может быть определено более точно.