Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
x
=
CE
.
(1)
Из теории электрических токов мы имеем также
Rx
=
d
dt
(
Lx
+
M cos
)+
E
=
0,
(2)
где M - электромагнитный импульс контура L', когда ось магнита перпендикулярна плоскости катушки, а - угол между осью магнита и нормалью к этой плоскости.
Уравнение для определения x, таким образом, следующее:
CL
d^2x
dt^2
+
CR
dx
dt
+
x
=
CM
sin
d
dt
.
(3)
Если катушка находится в положении равновесия и если магнит вращается с постоянной угловой скоростью n, то
=
nt
.
(4)
Выражение для тока состоит из двух частей, одна из которых не зависит от правой части уравнения и убывает со временем по экспоненте. Другая часть, которую можно назвать вынужденным током, целиком определяется членом, содержащим , и может быть записана в виде
x
=
A sin
+
B cos
.
(5)
Находя значения A и B подстановкой в уравнение (3), мы получаем
x
=-
MCn
RCn cos - (1-CLn^2)sin
R^2C^2n^2+(1-CLn^2)^2
.
(6)
Момент силы, действующий со стороны магнита на катушку L', по которой протекает ток x, противоположен моменту, который действовал бы на магнит, если бы катушка была неподвижна, и равен
=
x
d
d
(M cos )
=
M sin
dx
dt
.
(7)
Проинтегрировав это выражение по t в течение одного оборота и разделив на время, мы получаем для среднего значения
=
1
2
M^2RC^2n^3
R^2C^2n^2+(1-CLn^2)^2
.
(8)
Если катушка обладает значительным моментом инерции, её вынужденные колебания будут очень малы, а её среднее отклонение будет пропорционально .
Пусть наблюдаемые отклонения D, D, D соответствуют угловым скоростям магнита n, n, n; тогда в общем случае
P
n
D
=
1
n
+
CLn
^2
+
R^2C^2
,
(9)
где величина P - постоянна.
Исключая P и R из трёх уравнений такого вида, мы находим
C^2L^2
=
1
n^2n^2n^2
x
x
n^3
D
(n^2-n^2)
+
n^3
D
(n^2-n^2)
+
n^3
D
(n^2-n^2)
n
D (n^2-n^2) +
n
D (n^2-n^2) +
n
D (n^2-n^2)
.
(10)
Если n таково, что CLn^2=1, для этого значения n величина n/D будет минимальной. Остальные значения n следует брать одно больше, а другое меньше чем n.
Величина CL, определённая из уравнения (10), имеет размерность квадрата времени. Назовём её ^2.
Если Cs является электростатической мерой ёмкости конденсатора, а Lm– электромагнитной мерой самоиндукции катушки, то и Cs и Lm являются длинами и произведение CsLm равно
C
s
L
m
=
v^2C
s
L
s
=
v^2C
m
L
m
=
v^2^2
(11)
и
v^2
=
CsLm
^2
,
(12)
где ^2 равняется значению C^2L^2, найденному из этого эксперимента. Эксперимент, предложенный здесь в качестве метода определения v, имеет ту же сущность, что и эксперимент, описанный сэром У. Р. Гроувом (Sir W. R. Grove, Phil. Mag., March 1868, p. 184). См. также замечания автора настоящего трактата по поводу этого эксперимента в майском номере за 1868 г., стр. 360-363.
VI. Электростатическое измерение сопротивления (см. п. 355)
780. Пусть конденсатор ёмкостью C разряжается через проводник с сопротивлением R, тогда, если x - заряд в произвольный момент времени,
x
C
+
R
dx
dt
=
0.
(1)
Следовательно,
x
=
x
e
– t/(RC)
.
(2)
Если каким-либо способом мы можем осуществлять контакт на короткий промежуток времени, длительность которого точно известна, так, чтобы позволить току течь через проводник в течение времени t, и если E и E - показания электрометра, соединённого с конденсатором до и после этой операции, то
RC
(ln E-ln E)
=
t.
(3)
Если ёмкость C известна в электростатической мере как величина, имеющая размерность длины, то сопротивление R может быть найдено из этого уравнения в электростатической мере как величина, обратная скорости.
Если численное значение сопротивления, определённого таким образом, равно Rm, а численное значение сопротивления в электромагнитной мере равно Rs, то
v^2
=
Rm
Rs
.
(4)
Поскольку в этом эксперименте необходимо, чтобы сопротивление R было очень большим, а в электромагнитных экспериментах п. 763 и др. R должно быть малым, эксперименты следует производить на разных проводниках, а затем сопротивление этих проводников сравнивать обычными методами.