Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
Q
=
2EC
1-e– /(RC)
1+e+/(RC)
.
(8)
Положив величины c и в уравнении (4) большими по сравнению с , a или , можно сделать время, представляемое произведением RC, настолько малым по сравнению с , что при вычислении значения экспоненциального выражения мы можем использовать для C выражение (5). Таким образом, мы находим
RC
=
2
R+R
R
T
,
(9)
где R - сопротивление, которое надо поставить вместо конденсатора, чтобы произвести эквивалентный эффект; R - сопротивление остальной части системы, T - интервал между началом двух последовательных разрядов, - продолжительность контакта при каждом разряде. Таким образом, мы получаем уточнённое значение для величины C в электромагнитной мере:
– 2
R+R
R
·
T
C
=
1
T
1+e
.
2
R+R
– 2
R+R
R
·
T
1-e
(10)
IV. Сравнение электростатической ёмкости конденсатора с электромагнитной ёмкостью самоиндукции катушки
778. Если две точки проводящего контура, сопротивление между которыми равно R, соединены с электродами конденсатора ёмкостью C, то при действии в контуре электродвижущей силы часть тока, вместо того чтобы проходить через сопротивление R, будет идти на заряд конденсатора. Следовательно, ток через R будет увеличиваться от нуля до своего конечного значения постепенно. Из математической теории следует, что нарастание тока через R от нуля до его конечного значения выражается формулой точно такого же вида, что и формула, определяющая величину тока, вызываемого постоянной электродвижущей силой в катушке электромагнита. Следовательно, мы можем поместить конденсатор и электромагнит в двух противоположных плечах мостика Уитстона таким образом, что ток через гальванометр всегда равен нулю, даже в момент замыкания или размыкания контура батареи.
Рис. 63
Пусть на рис. 63 P, Q, R, S будут соответственно сопротивления четырёх элементов мостика Уитстона. Пусть катушка с коэффициентом самоиндукции L является частью элемента AH с сопротивлением Q, и пусть электроды конденсатора ёмкости C присоединены через проводники с малым сопротивлением к точкам F и Z. Для простоты мы будем предполагать, что в гальванометре, электроды которого присоединены к F и H, ток отсутствует. Мы должны, таким образом, определить условие, при котором потенциал в точке F равен потенциалу в точке H. И только если мы хотим оценить степень точности метода, мы должны вычислить ток через гальванометр, когда это условие не выполнено.
Пусть x будет полное количество электричества, которое прошло через элемент AF за время t, а z - количество электричества, прошедшее за то же время через FZ, тогда заряд конденсатора будет x-z. Электродвижущая сила, действующая между электродами конденсатора, по закону Ома равна R(dz/dt), так что если ёмкость конденсатора равна C, то
x-z
=
RC
dz
dt
(1)
Пусть y будет полное количество электричества, которое прошло через элемент AH; электродвижущая сила от A к H должна равняться электродвижущей силе от A к F, т.е.
Q
dy
dt
+
L
d^2y
dt^2
=
P
dx
dt
.
(2)
Поскольку ток через гальванометр отсутствует, количество электричества, прошедшее через HZ, также должно равняться y, поэтому находим
S
dy
dt
=
R
dz
dt
.
(3)
Подставляя в (2) значение x, найденное из (1), и сравнивая с (3), мы находим в качестве условия отсутствия тока через гальванометр
RQ
1+
L
Q
d
dt
z
=
SP
1+
RC
d
dt
z
.
(4)
Условие отсутствия тока в установившемся режиме имеет обычный для мостика Уитстона вид
QR
=
SP
.
(5)
Дополнительное условие отсутствия тока при размыкании и замыкании соединения с батареей следующее:
L
Q
=
RC
.
(6)
Здесь L/Q и RC являются постоянными времени элементов Q и R соответственно. Поэтому, если, меняя Q или R, мы отрегулируем элементы мостика Уитстона так, чтобы ток в гальванометре отсутствовал как при размыкании и замыкании контакта, так и в установившемся режиме, мы будем знать, что постоянные времени катушки и конденсатора равны.
Коэффициент самоиндукции L можно определить в электромагнитной мере путём сравнения с коэффициентом взаимной индукции двух контуров с известными геометрическими параметрами (п. 756). Эта величина имеет размерность длины.
Ёмкость конденсатора может быть определена в электростатической мере путём сравнения с конденсатором, геометрические данные которого известны (п. 229). Эта величина с тоже является длиной. Ёмкость в электромагнитной мере равна
C
=
c
v^2
.
(7)
Подставляя это значение в уравнение (6), мы получаем для величины v:
v^2
=
c
L
QR
,
(8)
где c - ёмкость конденсатора в электростатической мере, L - коэффициент самоиндукции катушки в электромагнитной мере, а Q и R - сопротивления в электромагнитной мере. Значение v, найденное таким методом, зависит от определения единицы сопротивления, так же как и во втором методе, п. 772, 773.
V. Сопоставление электростатической ёмкости конденсатора с электромагнитной ёмкостью самоиндукции катушки
779. Пусть C будет ёмкостью конденсатора, обкладки которого соединены проводом с сопротивлением R. Пусть в этот провод включены катушки L и L' и пусть L обозначает сумму их ёмкостей самоиндукции. Катушка L' подвешена на двухнитевом подвесе и состоит из двух параллельных витков, расположенных в вертикальной плоскости, между которыми проходит вертикальная ось, несущая магнит M, ось которого вращается в горизонтальной плоскости между катушками LL'. Катушка L, имеющая большой коэффициент самоиндукции, закреплена. Подвешенная катушка L' защищена от потоков воздуха, вызываемых вращением магнита, путём помещения вращающихся частей внутрь полой оболочки [рис. 64].
Рис. 64
Движение магнита вызывает в катушке токи индукции, которые подвергаются воздействию со стороны магнита, так что плоскость подвешенной катушки отклоняется в направлении вращения магнита. Определим силу индуцированных токов и величину отклонения подвешенной катушки.
Пусть x будет заряд электричества на верхней обкладке конденсатора C, тогда, если E есть электродвижущая сила, которая произвела этот заряд, из теории конденсаторов имеем