Чтение онлайн

Таким способом мы можем найти магнитный потенциал любого тела, однородно намагниченного параллельно данному направлению. Но если эта однородная намагниченность обусловлена магнитной индукцией, то магнитная сила во всех точках внутри тела также должна быть однородной и параллельной.

Эта сила состоит из двух частей: одна связана с внешними источниками, другая - с намагниченностью тела. Поэтому при однородной и параллельной внешней магнитной силе магнитная сила, связанная с намагниченностью, также должна быть однородной и параллельной во всех точках внутри тела.

Таким образом, чтобы данный метод привёл к решению задачи о магнитной Индукции, производная dV/dx должна быть внутри тела линейной функцией координат x, y, z, и, следовательно, потенциал V - квадратичной функцией этих координат.

Но единственными из числа известных нам примерами, когда потенциал V представлялся бы внутри тела квадратичной функцией координат, служат тела, Ограниченные полной поверхностью второго порядка, и единственным случаем, В котором такое тело обладало бы ограниченными размерами, является эллипсоид. Поэтому мы применим этот метод к случаю эллипсоида.

Пусть уравнение

x^2

a^2

+

y^2

b^2

+

z^2

c^2

=

1.

(1)

будет уравнением эллипсоида, а 0 обозначает следующий определённый интеграл:

0

d(^2)

(a^2+^2)(b^2+^2)(c^2+^2)

.

(2)

1

1 См. Томсон и Тэт «Натуральная философия» (Thomson and Tait’s Natural Philosophy, § 525, 2nd Edition).

Тогда, если положить

L

=

4abc

d0

d(a^2)

,

M

=

4abc

d0

d(b^2)

,

N

=

4abc

d0

d(c^2)

,

(3)

то значение потенциала внутри эллипсоида будет равно

V

0

=

–

2

(

Lx^2

+

My^2

+

Nz^2

)+const.

(4)

Если эллипсоид намагничен однородно с интенсивностью I в направлении, которое относительно осей x, y, z имеет направляющие косинусы l, m, n, так что составляющие намагниченности этого эллипсоида равны A=Il, B=Im, C=In, то потенциал, обусловленный такой намагниченностью внутри соленоида, будет

=

– I(

Llx

+

Mmy

+

Nnz

).

(5)

Если внешняя магнитная сила равна H, а её составляющие - V, W, X, то её потенциал будет равен

V

=

– (

Xx

+

Yy

+

Zz

).

(6)

Поэтому составляющие истинной намагничивающей силы в произвольной точке тела равны

X+AL,

Y+BM,

Z+CN.

(7)

Наиболее общая связь между намагниченностью и намагничивающей силой задаётся тремя линейными уравнениями, содержащими девять коэффициентов. Для выполнения закона сохранения энергии в случае магнитной индукции необходимо, однако, чтобы три из них были бы соответственно равны трём другим, т.е. чтобы мы имели

A

=

1

(X+AL)

+

'

3

(Y+BM)

+

'

2

(Z+CN)

,

B

=

'

3

(X+AL)

+

2

(Y+BM)

+

'

1

(Z+CN)

,

C

=

'

2

(X+AL)

+

'

1

(Y+BM)

+

3

(Z+CN)

.

(8)

Из этих уравнений можно выразить A, B, C через X, Y, Z и получить наиболее общее решение задачи.

Потенциал вне эллипсоида будет складываться из потенциала, обусловленного намагниченностью эллипсоида, и потенциала внешней магнитной силы.

438. Единственным практически важным является случай, в котором

'

1

=

'

2

=

'

3

=

0.

(9)

Тогда мы имеем

A

=

1

1-1L

X

,

B

=

2

1-2M

Y

,

C

=

3

1-3N

Z

.

(10)

Если эллипсоид имеет две одинаковых оси и является эллипсоидом планетарной или сплюснутой формы, то

b

=

c

=

a

1-e^2 

,

(11)

L

=

– 4

1

e^2

–

1-e^2

e^3

arcsin e

,

M=N

=

– 2

1-e^2

e^3

arcsin e

–

1-e^2

e^2

.

(12)

Если эллипсоид имеет яйцевидную или вытянутую форму, то

a

=

b

=

1-e^2

c

,

(13)

L=M

=

– 2

1

e^2

–

1-e^2

2e^2

ln

1+e

1-e

,

N

=

– 4

1

e^2

– 1

1

2e

ln

1+e

1-e

– 1

.