Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
d
(см. (2)).
Таким образом, мы можем записать второе условие на поверхности:
(
1
+
4
)
d
d
+
d'
d'
+
4
dV
d
=
0.
(10)
Итак, определение магнетизма, индуцированного в однородном изотропном ограниченном поверхностью S теле, находящемся под действием внешних магнитных сил, потенциал которых равен V, может быть сведено к следующей математической задаче.
Мы должны найти две функции и ', удовлетворяющие следующим условиям.
Внутри поверхности S функция должна быть конечной, непрерывной и должна удовлетворять уравнению Лапласа.
Вне поверхности S должна быть конечной и непрерывной, она должна обращаться в нуль при бесконечном удалении от S и удовлетворять уравнению Лапласа.
В каждой точке самой поверхности должно выполняться равенство =', а производные от функции , ' и V по нормали должны удовлетворять уравнению (10).
Такой подход к формулировке задачи об индуцированном магнетизме принадлежит Пуассону. Величина k, которую он использует в своих трудах, отличается от величины - они связаны между собой следующим соотношением:
4
(k-1)
+
3k
=
0.
(11)
Коэффициент , который мы здесь использовали, был введён Ф. Е. Нейманом.
428. Проблему индуцированного магнетизма можно рассматривать и другим способом, введя величину, которую мы, следуя Фарадею, назвали Магнитной Индукцией.
Связь между магнитной индукцией B, магнитной силой H и намагниченностью J выражается уравнением
B
=
H
+
4J
.
(12)
Индуцированная намагниченность выражается через магнитную силу следующим уравнением:
J
=
H
.
(13)
Отсюда, исключая J, находим
B
=
(1+4)H
,
(14)
что и является связью между магнитной индукцией и магнитной силой в веществах, намагниченность которых индуцирована магнитной силой.
В самом общем случае может быть функцией не только положения точки в веществе, но и направления вектора H, однако в случае, который мы сейчас рассматриваем, является числом.
Если далее записать
=
1
+
4
,
(15)
то можно определить как отношение магнитной индукции к магнитной силе и называть это отношение магнитной индуктивной способностью вещества, отличая её, таким образом, от коэффициента индуцированной намагниченности .
Если обозначить через U полный магнитный потенциал, составленный из потенциала внешних источников V и потенциала , обусловленного индуцированной намагниченностью, то можно выразить составляющие a, b, c магнитной индукции и составляющие , , магнитной силы следующим образом:
a
=
=
–
dU
dx
,
b
=
=
–
dU
dy
,
c
=
=
–
dU
dz
.
(16)
Составляющие a, b, c удовлетворяют условию соленоидальности:
da
dx
+
db
dy
+
dc
dz
=
0.
(17)
Следовательно, потенциал U должен удовлетворять уравнению Лапласа
d^2U
dx^2
+
d^2U
dy^2
+
d^2U
dz^2
=
0
(18)
в любой точке, где величина постоянна, т.е. в каждой точке внутри однородного вещества или в пустом пространстве.
Если обозначить через нормаль, проведённую внутрь вещества магнита, а через ' - нормаль, проведённую наружу, и вообще все величины вне вещества отмечать штрихами, то условие непрерывности магнитной индукции на самой поверхности будет таким:
a
dx
d
+
b
dy
d
+
c
dz
d
+
a'
dx
d'
+
b'
dy
d'
+
c'
dz
d'
=
0,
(19)
или с учётом уравнений (16)
dV
d
+
'
dV
d'
=
0,
(20)
где ' -коэффициент индукции вне магнита, равный единице, если окружающая среда не является магнитной или диамагнитной.
Выражая U через V и и через , получим то же самое уравнение (10), к которому мы пришли методом Пуассона.
Задача об индуцированном магнетизме, рассматриваемая с точки зрения связи между магнитной индукцией и магнитной силой, в точности соответствует задаче о протекании электрических токов в разнородной среде, рассмотренной в п. 310.
Магнитная сила выражается через магнитный потенциал точно так же, как электрическая сила выражается через электрический потенциал.
Магнитная индукция является величиной, имеющей природу потока, и она удовлетворяет тем же условиям непрерывности, что и электрический ток.
В изотропных средах зависимость магнитной индукции от магнитной силы точно соответствует зависимости электрического тока от электродвижущей силы.
Удельная магнитная индуктивная способность в первой задаче соответствует удельной проводимости во второй. Поэтому Томсон в своей «Теории индуцированного магнетизма» (Reprint, 1872, р. 484) назвал эту величину проницаемостью среды.
Теперь мы уже готовы к рассмотрению теории индуцированного магнетизма с той точки зрения, которой, как я полагаю, придерживался Фарадей.
Когда магнитная сила действует на произвольную среду, магнитную, диамагнитную или нейтральную, внутри неё возникает явление, называемое Магнитной Индукцией.
Магнитная индукция - это направленная величина, имеющая природу потока; она удовлетворяет тем же условиям непрерывности, что и электрический ток и другие потоки.
В изотропных средах магнитная сила и магнитная индукция одинаково направлены, причём магнитная индукция равна произведению магнитной силы на величину, называемую коэффициентом индукции, которую мы обозначили через .