Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
+…
.
(8)
Теперь поместим M к западу от подвешенного магнита, установив его центр в точке, соответствующей отметке на шкале 2s0– s1. Для отклонений оси в двух новых положениях 3 и 4 получим, как и прежде:
1
4
M
H
r
2
^3
(
tg
3
–
tg
4
)
=
1+
A
2
1
r22
+
A
4
1
r24
+…
.
(9)
Допустим, что истинное положение центра подвешенного магнита не s0, а s0+; тогда
r
1
=
r-
,
r
2
=
r+
(10)
и
1
2
r
1
n
+
r
2
n
=
r
n
1+
n(n-1)
2
^2
r^2
+…
.
(11)
Если измерения проведены достаточно аккуратно, то величиной ^2/r^2 можно пренебречь и вместо r1n и r2n с уверенностью подставить rn.
Тогда, взяв среднее арифметическое от (8) и (9), получим
1
8
M
H
r^3
(
tg
1
–
tg
2
+
tg
3
–
tg
4
)
=
1+
A
2
1
r^2
+…
(12)
или, введя обозначение
1/4
(
tg
1
–
tg
2
+
tg
3
–
tg
4
)
=
D
,
(13)
найдём
1
8
M
H
D
r^3
=
1+
A
2
1
r^2
+…
.
454. Теперь мы можем рассматривать D и r как величины, допускающие точное определение.
Значение A2 никогда не превосходит 2L^2 (L - половина длины магнита); поэтому на расстояниях r, значительных по сравнению с L, мы можем пренебречь членом с A2 и сразу же определить отношение H к M. Нельзя, однако, считать, что величина A2 равна 2L^2, она может быть меньше и даже отрицательна, если максимальный размер магнита поперечен по отношению к оси. Членами с A4 и более высокого порядка можно пренебречь без опасений.
Чтобы исключить A2, повторим эксперимент с различными расстояниями r1, r2, r3, …, получив для D значения D1, D2, D3, …; тогда
D
1
=
2M
H
1
r13
+
A2
r15
,
D
2
=
2M
H
1
r23
+
A2
r25
, …, … .
Если предположить, что вероятные ошибки этих уравнений одинаковы, а это будет так, когда они зависят только от определения D и когда не существует неопределённости в величине r, то в соответствии с общим правилом комбинирования в теории ошибок измерений (в предположении равенства вероятных ошибок всех уравнений) одно из комбинированных уравнений получится при умножении каждого из приведённых выше уравнений на r– 3 и сложения результатов, а второе - при умножении на r– 5 и также с последующим сложением результатов.
Обозначив через (Dr– 3) величину
D
1
r
1
– 3
+
D
2
r
2
– 3
+
D
3
r
3
– 3
+…
и используя аналогичные обозначения для других групп символов, оба результирующие уравнения можно записать в виде
(Dr
– 3
)
=
2M
H
(r
– 6
)
+
A
2
(r
– 8
)
,
(Dr
– 5
)
=
2M
H
(r
– 8
)
+
A
2
(r
– 10
)
,
откуда
2M
H
(r
– 6
)
(r
– 10
)
–
(r
– 8
)
^2
=
=
(Dr
– 3
)
(Dr
– 10
)
–
(Dr
– 5
)
(Dr
– 8
)
и
A
2
(Dr
– 3
)
(Dr
– 10
)
–
(Dr
– 5
)
(Dr
– 8
)
=
=
(Dr
– 5
)
(Dr
– 6
)
–
(Dr
– 3
)
(Dr
– 8
)
.
Величина A2, найденная из этих уравнений, должна быть меньше половины квадрата длины магнита M. В противном случае следует подозревать наличие какой-то ошибки в измерениях. Этот метод измерения и редукции был дан Гауссом в «Первом Докладе Магнитного Союза».