Чтение онлайн

– 108 -

Следовательно, при четном числе инверсий все шашки в конце концов неизбежно станут на свои места.

Восьмерка перепрыгивает через четыре шашки ("14", "15", "11" и "2")

Как видишь, мы попутно еще доказали, что когда Дразнилка "не выходит", то на свои места можно поставить все шашки, кроме двух последних, что ты, как я полагаю, и сам не раз замечал. Если ты пожелаешь разобрать это доказательство на примере, расставь все шашки для упрощения в одну шеренгу и перепрыгивай через две, как указано. Конечно, в квадратике Дразнилки ты можешь для ускорения дела иногда перепрыгивать и через четыре или шесть шашек, как мы выяснили раньше. Ну вот, а теперь поставь нашу "змейку" в ее натуральном порядке.

Илюша поставил (см. рис. на стр. 110).

– Погляди, как в зеркале отражается, и запиши.

Илюша глянул в зеркало и написал то, что видно на рисунке на следующей странице внизу.

– В первой строке "четыре" дает инверсии с "тройкой","двойкой" и "единицей", "тройка" - с "двойкой" и "единицей", наконец, "двойка" - с "единицей".

Всего в первой строке одна плюс две плюс три - шесть инверсий. Во второй строке столько же. В третьей тоже столько же. Всего восемнадцать. А в последней строке только три инверсии. В конечном счете получается двадцать одна инверсия.

– То есть в итоге нечетное число. Значит, если зеркальное расположение "не выходит", его можно перевести в натуральное расположение с одной инверсией. Но раз так, значит, и расположение с одной инверсией можно перевести в зеркальное. А поэтому всякое расположение, которое "не выходит" (и которое, как мы доказали, можно свести к одной инверсии), ты можешь перевести в зеркальное. Так вот, когда у тебя "не выйдет" (возьми-ка поставь в большом Дразнилке пример с перестановкой только двух шашек - "единицы" и "пятнадцати"), то ты можешь для утешения стремиться не к натуральной расстановке шашек, а к зеркальной.

– Вот это так!
– вскричал Илюша. – Беспроигрышный Дразнилка! Здорово! Знаешь, это мне напоминает то странное слово, которое язык тетушки написал в Схолии Четвертой.

– 109 -

Илюша попробовал прием и убедился в его доброкачественности.

– Мне потому нравится Дразнилка, - заявил Илюша, - что все у него выходит просто. Только торопиться не надо!

Радикс усмехнулся.

– Как сказать!
– проворчал он.
– Как сказать! Если ты уж так хорошо все понял, то возьми-ка переверни шашки. На них ведь сзади, как ты помнишь, написано "Тетушка Дразнилка".

Вынь одну шашку... Ну, для памяти вынем ту, на которой стоит буква "ша". Потом перепутай шашки и проверь на буквах, как получается насчет правила "выйдет-не-выйдет". А коли заметишь какие-нибудь особенности, не поленись дать исчерпывающее объяснение. Да, кстати, вот еще что. Скажи, пожалуйста: известно ли тебе, что бывают уравнения со многими неизвестными?

– Ну еще бы!
– отвечал Илюша - Конечно, известно.

Так вот, представь себе, что Дразнилка имеет довольно близкое касательство к решению систем уравнений со многими и даже весьма многими неизвестными.

– Да что ты?
– удивился мальчик.

– Дело в том, - продолжал Радикс, - что если тебе, допустим, придет в голову точно определить, как можно вывести общие формулы, определяющие значения неизвестных в зависимости от коэффициентов в уравнениях, то придется заняться тем же самым, чем мы сейчас с тобой забавлялись, а именно - подсчитать число инверсий. Если не струсишь, то советую проверить это. Давай напишем систему уравнений:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

и найдем, чему равняется у.

– Это что-то трудновато, - неопределенно заметил Илюша.

– Для простоты положим, что х и z уже известны и нам надо определить через них у. Ну-ка попробуй, что получится.

– 110 -

Илюша взял карандаш, задумался на минутку и написал следующее выражение для у:

y = (d1– a1x - c1z) / b1

– Очень мило! Ну, а еще чего-нибудь ты не придумаешь?

– Можно подставить это значение у в остальные два уравнения, тогда останутся неизвестными только х и z.

– Можно. А далее?

– А далее поступаю подобным же образом. Определю из одного из уравнений z и подставлю его в последнее оставшееся уравнение. Получу, очевидно, значение для х. А его можно подставить в предыдущую формулу для z и так далее.

Все определится очень просто. Только бы не запутаться во всех этих подстановках.

– Так, - закончил Радикс, - верно. Придется тебе еще подумать, кстати, о том, чтобы у этих твоих дробей, которые определяют неизвестные, знаменатели не обращались в нуль.

Но если оставить это пока в стороне, то формулы ты получишь верные. О них-то я и хотел тебе сказать несколько слов.

Займись-ка, выпиши, что получается окончательно в знаменателе дробей. Если ты нигде не напутал, то получится алгебраическая сумма произведений:

a1b2c3; a1b3c2; a2b1c3; a2b3c1; a3b1c2; a3b2c1;

А что касается знаков перед ними, то они как раз тем и определяются, какое число инверсий, четное или нечетное, образуют числа "один", "два" и "три" в подписных значках у букв a, b и с, если мы будем писать эти три буквы каждый раз в их алфавитном порядке, как это у нас и сделано. Если при четном числе инверсий брать знак плюс, а при нечетном - минус, то получится алгебраическая сумма, которая называется определителем, или детерминантом, данной системы уравнений. Ты можешь еще заметить, что и числители дробей построены так же, только там вместо одной из букв а, b или с (в зависимости от того, какое ты неизвестное определяешь) поставлена буква d (для икса d заменяет букву а, для игрека - букву b, для зета - букву с). Если мы захотим определить знак перед каждым произведением, то для этого достаточно того, что мы вывели, когда разбирали маленького Дразнилку. А дальше дело пойдет, разумеется, похитрее. Мы еще вспомним нашего друга Дразнилку, когда будем разбирать одну довольно сложную задачу в Схолии Девятнадцатой.

– 111 -

– Теперь уже я буду относиться к Дразнилке посерьезнее. Вот какая он, оказывается, знатная персона!

– Кстати, - задумчиво произнес Радикс.
– Ты, кажется, уверял меня по поводу младшего Дразнилки, что из трех элементов можно образовать всего шесть комбинаций?

– Разумеется, - уверенно ответил Илюша.

– Как это мило! ..
– еще более задумчиво произнес его приятель.
– И ты уверен, что больше шести не может быть?

– Конечно, уверен!

– Так, значит, шесть! И все разные. Это очень важно.