Чтение онлайн

– 100 -

И мальчик получил:

(m + 2) (m + 3) (m + 4).

– А теперь заменим (m+ 2) на n. И тогда?

Илюша написал, а затем ответил нерешительно:

– Три натуральных числа подряд. Произведение! Коли так... то должно делиться на три! Вот странная задачка! Сразу не разберешься. А ведь мне нужно еще узнать про Дразнилку, - обратился Илюша к Радиксу, ибо Мнимий уже исчез.
– Ты расскажешь?

– Отчего же!
– ответил Радикс, беря со стола три картоночки, каждая величиной с почтовую карточку, и протягивая их Илюше.
– Мы с тобой сначала рассмотрим самый простенький случай - тройного Дразнилку, который у тебя назывался "икс". Помнишь?

– Помню!
– сказал Илюша, разглядывая карточки. На каждой стояла цифра: 1, 2 и 3.

– Так вот, - продолжал Радикс, - положи их на стол в обычном порядке. Запиши мелом на стене эту первую комбинацию, исходный порядок, то есть 1-2-3. А теперь перекладывай их так: ту, которая стоит спереди, клади в самый конец и повторяй дальше тем же порядком. Это круговая, или циклическая, перестановка.

Илюша переложил несколько раз, потом сказал:

– Больше не выходит. Опять то же самое получается.

– А теперь разложи их в обратном порядке: 3-2-1 и перекладывай опять так же.

– И тут то же, - ответил Илюша.
– Опять я пришел к тому же, с чего начал, то есть к 3-2-1.

– Ну, теперь запиши.

Илюша записал так:

А)

1 - 2 – 3

2 – 3 – 1

3 – 1 - 2

Б)

3 – 2 - 1

2 – 1 - 3

1 – 3 - 2

– Вот они и все, - сказал Илюша, - их всего шесть штук.

– Попробуй, - посоветовал Радикс, - взять опять комбинацию 1-2-3 и перекладывать не переднюю назад, а заднюю вперед.

– Не стоит, - отвечал Илюша, - это я уже пробовал там, у Розамунды. То-то и дело, что они ходят друг за дружкой гуськом. И все равно в какую сторону двигать.

– 101 -

– Правильно, - сказал Радикс.
– А теперь положи карточки рядом в порядке 1-2-3 и посмотри в зеркало, что у тебя получится.

Илюша посмотрел в зеркало и увидел, что из его комбинации 1-2-3 в зеркале получается 3-2-1.

– Как раз наоборот!
– сказал он.
– Из "А" получается "Б".

– Ну, теперь переставляй их вкруговую. И смотри, что выходит в зеркале.

Из 2-3-1 в зеркале вышло 1-3-2; из 3-1-2 получилось 2-1-3.

– Ну, как ты думаешь, - спросил Радикс, - можно ли уложить карточки так, чтобы и перед зеркалом и в зеркале получилось одно и то же расположение?

– Н-нет, - сказал в недоумении Илюша.
– Ну как же это возможно? Нет, нельзя!

– Так, - отвечал его наставник, - Значит, там один круг, а здесь другой. Ну, вот и всё. Весь секрет Дразнилки в том, что там при наличии одной пустышки, в сущности, возможны только круговые перестановки. Игра в Дразнилку, как ты и сам понимаешь, это игрушка, почти безделка, но вот именно из-за того, что в этой игре участвуют эти круговые перестановки, о которых мы еще наговоримся впоследствии, игрушка эта получает довольно серьезный смысл. А перевести 1-2-3 в 3-2-1 циклической перестановкой нельзя, как нельзя добиться, чтобы в зеркале было то же, что перед зеркалом. Значит, если у тебя стоит с самого начала какая-нибудь комбинация из круга "А", то ты можешь прийти к основной комбинации 1-2-3.

– 102 -

Это будет четный круг. Но если у тебя стоит комбинация из круга "Б", то ее перевести в основную комбинацию невозможно. Но это - круг нечетный. Попробуй теперь в основной комбинации 1-2-3 переставить две какие-нибудь рядом стоящие цифры.

Илюша переставил. Из 1-2-3 получилось 1-3-2, потому что он переставил 2 и 3.

– Вот теперь получился круг "Б".

– Переставь еще двух соседей.

Илюша поменял местами 3 и 1 и получил 3-1-2.

– А теперь получился круг "А".

– Ну, вот и всё!
– сказал Радикс.
– Ты, я думаю, и сам видишь, что если переставляешь соседей четное число раз, то получается тот же круг. А если переставишь нечетное число раз любых соседей, причем неважно - этих ли самых или каких-нибудь других, то ты переводишь все расположение во второй круг, и тогда вернуться к первому кругу, не вынимая шашек из коробочки, невозможно. А теперь возьмем какую-нибудь комбинацию шашек в самом маленьком Дразнилке. Ответь мне: можно ли сказать сразу, выйдет у тебя в данном случае или не выйдет?

– Сказать я могу, - отвечал мальчик, - потому что помню, какие комбинации относятся к какому кругу.

– Та-ак...
– довольно кисло протянул Радикс.
– Однако не в числе шашек дело, потому что всего интереснее располагать правилом, которое было бы пригодно для любого числа шашек. Разумеется, мы начнем с того, что выясним, какие комбинации относятся к какому кругу, но в дальнейшем нам придется рассуждать уже по-иному. Не так ли? Как тебе кажется?

– Мне кажется, что нам нужно найти правило, по которому можно было бы сразу установить, выйдет данная комбинация или нет. Ты говорил, что все дело в том, сколько раз я переставлял соседние шашки...

– Так. Ну и что же?

– По-моему, можно так рассуждать. Каждый раз я меняю местами две шашки, то есть одну пару. Значит, надо сосчитать, сколько есть таких пар, которые поменялись местами.

Так как я не знаю, как именно они переставлялись, то надо пересмотреть все пары, которые стоят не в том порядке, который нужен. Вот, например, я начинаю с комбинации 1-2-3, затем идет комбинация 2-1-3. Тут только одна пара нарушает порядок: единица и двойка.

– Можно сказать, - вставил Радикс, - что эта пара образует беспорядок, инверсию.

– 103 -

– Хорошо. Значит, у нас здесь одна инверсия. Каждую пару я буду считать только один раз. Дальше беру комбинацию 2-3-1. Здесь есть две пары, образующие инверсии. Первая пара - единица и двойка, вторая - единица и тройка.

Двойка и тропка стоят относительно друг друга в порядке. Значит, здесь две инверсии. Беру еще одну комбинацию: 3-2-1. Здесь три пары шашек нарушают порядок. Первая пара- тройка и двойка. Вторая пара - тройка и единица. Третья пара - двойка и единица. Всего здесь три инверсии. Как ты и говорил, при четном количестве инверсий задачка решается...

– А если нет ни одной?

– Если нет ни одной, то и делать нечего, все и так в порядке.

– А если нечетное число инверсий, то задачка не может быть решена. Если подсчитать число инверсий в любой комбинации, то можно сразу сказать, выйдет или не выйдет. Если инверсий четное число, то выйдет; если нечетное, то не выйдет.

– Хорошо, - сказал Радикс, - а теперь перейдем к большому Дразнилке. Как там надо считать число инверсий и какой установить порядок?