Чтение онлайн

Его теория выглядела настолько авантюрной, то что она стала предметом махинаций всевозможных провидцев и магов, хотя сам Луллий искренне служил религиозной идеи и был, в конце концов, забит камнями за свою миссионерскую деятельность мусульманами в Тунисе.

Первые попытки формализовать нашу логику предпринимали еще античные стоики в 4 веке до Р.Х., определяя законы, по которым мы выстраиваем свои высказывания, считая их истинными. Вслед за ними Аристотель описал некоторые виды логических умозаключений (силлогизмы), самым знаменитым из которых стал modus ponens в его наиболее популярной версии: «Гай – человек. Все люди – смертны. Следовательно, Гай – смертен». Но по-настоящему это удалось сделать лишь в 19 веке Булю и Моргану. После этого математическая логика стала стремительно формализоваться, а когда Шеннон обнаружил, что булева алгебра может быть представлена электрическим цепями на триггерах, началась эра компьютеров. Абстрактные машины Поста и Тьюринга механизировали вычислительный процесс. Тезис Черча гласил, что все вычислительные процессы (алгоритмы) могут быть представлены математическим классом рекурсивных функций. Эти рекурсивные функции, кстати сказать, олицетворяли собой абсолютно детерминированный процесс.

Ныне расплывчатый тезис Парменида о тождестве бытия и мышления мы можем сформулировать более точно, а именно: для всякого существа, мыслящего посредством того или иного языка, должна существовать соответствующая реальность, виртуальный мир. С точки зрения панлогизма Вселенная, в которой мы живем, есть модель для некой супертеории, выраженной в нашем человеческом языке. Собственно, эту супертеорию и мечтает создать современная наука.

Вернемся к нашей логике, которую мы считаем адекватной физической причинности. С точки зрения физики главным условием причинности является время, а точнее его однородность и направленность, которую принято называть «стрелой времени». (Эквивалентным условием причинности можно считать конечную скорость света. Сверхсветовая скорость передачи сигнала нарушает причинность, а значит и ту логику, которую мы связываем с реальностью.)

Начнем со стрелы времени или с Гераклитовой реки, в которую невозможно войти дважды. Река в таком упоминании – это всегда детерминированный процесс или причинное множество (causal set), которое с некоторых пор стало использоваться в квантовой физике. Это множество интуитивно определяется как дискретное (разрывное) и частично упорядоченное. Дискретным оно должно быть просто потому, что причинное событие должно быть отличимым во времени от следственного события. Порядок необходим, поскольку в любом фрагменте реальности или в любой произвольной физической системе, вплоть до Вселенной, все события причинно упорядочены во времени. Ничто не происходит само по себе и все имеет последствия. Частичность такого порядка вытекает из того факта, что два произвольных события (как, например, мое и ваше рождение) никак не связаны друг с другом, хотя с точки зрения Большого взрыва у всех событий во Вселенной есть одна первичная причина – сам Большой взрыв, возникший из сингулярности – особой точки, в которую была сжата Вселенная вне пространства и времени.

В данном случае для нас важно то, что Вселенная как причинное множество является алгебраическим ультрафильтром над сингулярностью. В пространстве Минковского этот ультрафильтр является световым конусом.

Хорошим визуальным аналогом ультрафильтра можно считать обычное дерево, ствол которого распадается на ветви, ветви на пруты, пруты на листья, черенки которых подобны стволу дерева и опять распадаются на части, образуя структуру листа. Если мы прокрутим во времени историю семени, из которого выросло это дерево, то этот процесс будет причинным множеством. В этом смысле ультрафильтр – это «застывшее» причинное множество.

Математический ультрафильтр V над множеством Х – это частично упорядоченное множество, как и причинное множество, которым мы считаем нашу реальность. Образно говоря, любые два фрагмента дерева (реальности) имеют общую корневую систему, а каждый его фрагмент сложен последовательно: из ствола не вылезает лист, на котором торчит ветка. Замечательным свойством ультрафильтра является то, что он не может по определению содержать пустое множество (на котором, кстати сказать, «не работает» аксиома выбора). Топологически это выражается в том, что ультрафильтр – это всегда множество окрестностей некоторой точки a из множества Х (множество следствий одной причины). А множеством окрестностей ничто может быть что угодно, а не только подмножества этого конкретного Х.

Следует еще добавить, что всякий ультрафильтр является по природе «собственным булеаном» (в уже упомянутой алгебре Буля). Булеан Р(Х) множества Х – это множество всех его подмножеств или топологическое пространство над Х. Интуитивно это можно объяснить так: ультрафильтр V(a) над Х, состоящий только из подмножеств Х, содержащих a (его окрестностей), а не всех подмножеств из Х, является структурой, порожденной этим элементом. Можно сказать, что V(a) содержит все «истинные» для а множества и не содержит ни одного «ложного», в котором этому элементу нет места. Очевидно, наша Вселенная как множество окрестностей (собственный булеан) сингулярности есть «истинная» для нас, и мы не можем жить в «ложной» Вселенной. Это возвращает нас к той связи, которую мы предполагаем между логикой и физической причинностью, истиной и существованием (экзистенцией).

Так дерево можно считать множеством причинных (истинных) окрестностей того семени, из которого оно выросло в световом конусе пространства-времени.

Мы выразим этот факт записью:

семя < дерево,

подразумевая под математическим отношением «меньше» причинный порядок. Таким образом выражение вида «a < b» в дальнейшем будет означать для нас: «а есть причина b» или «а лежит в основании b». Этому есть простая математическая аналогия – нижняя граница (инфимум). Событие, которое является физической причиной другого события, в математическом смысле является его наибольшей языковой границей (ниже которой, разумеется, могут находиться все новые и новые меньшие границы). Заметим, что такая интерпретация знака < не противоречит его обычному смыслу, но скорее расширяет его. Так, например, математическое утверждение «0 < n», означающее, что нуль меньше любого натурального числа, в нашем понимании подразумевает еще и то, что нуль лежит в основании всех чисел. Именно поэтому мы теперь можем вывести такую формулу:

сингулярность < Вселенная или inf Вселенная = сингулярность

Точно так же для ультрафильтра V(a), который является множеством окрестностей точки а, мы пишем: a < V(a). И эта точка не может быть такой фикцией как пустое множество. В стандартной теории множеств Цермело-Френкеля (ZF) пустое множество O определяется как множество, которое не имеет элементов. Это - естественное для математики и логики конструктивное определение объекта. Но мы пойдем глубже и попробуем интерпретировать пустое множество через такое фундаментальное для всей науки понятие как «существование». И тогда естественным будет определить пустое множество как экзистенциальное ничто. Существует ли ничто?

Допустим, что Е – это квантор существования. Выражение Е(х) означает утверждение: «х существует». В формулировке ZF пустое множество О вводится как раз через квантор существования: «существует х для всех множеств Х такое, что Х не принадлежит х». Наче говоря, ни одно множество не может лежать в основании пустого множества. Заменим предикат принадлежности нашим отношением причинности < и запишем:

О = Е(х) (X не < х)

Так определяется пустое множество в математике. Будем считать, что переменной х может быть любой мыслимый нами объект, никак не ограничивая нашу фантазию. Тогда тот факт, что не существует х для некоторого условия Рr мы должны выразить как не-Е(х)Рr(х). Пусть в качестве Pr выступает само условие мыслимости, а в качестве х выступает сам квантор существования Е (ведь мы его мыслим). Определим ничто как отрицание этого квантора не-Е. Делая его объектом нашего рассмотрения, мы признаем его существующим. Формально это должно значить, что

O = Е(не-Е),

т.е. то, что математики называют пустым множеством на уровне языка, которым мы мыслим, есть бытие небытия. В современной логике объекты, которые определяют сами себя, называются «непредикативными». Исторически самым первым из известных нам непредикативных определений является «парадокс лжеца» Эпименида. Этот философ высказал его так: «Все критяне – лжецы», но ввиду того, что он сам был жителем Крита, ложью следовало считать и это его утверждение. Если его словам нельзя было верить, то он клеветал и на самого себя и в действительности мог говорить правду. Однако правда в его устах заключалась в том, что он лжец.