Чтение онлайн

Любой мыслимый нами объект есть дхарма. Мысль о дхарме тоже есть дхарма. Дхарма не может существовать в изоляции от всего остального мира и поэтому имеет вокруг себя экзистенциальный фон, который собственно и есть весь остальной мир, из которого локализована дхарма. Визуально это заключается в том, что, когда мы смотрим на какой-то физический объект, т.е. имеем дхарму о нем, то этот объект находится в центре дхармы. Все остальные физические объекты, расположенные также в поле нашего зрения, но ставшие неразличимы между собой именно в этой дхарме, образуют периферийный фон этого центрального объекта. Сосредотачиваясь на другом объекте, мы естественным образом уводим в фон прежний объект. Так, если мы видим толпу, то мы не видим лиц, а если выделяем чье-то лицо, то уже не видим толпу, которая становится фоном. Далее, если мы смотрим на какую-то деталь этого лица, то фоном становится уже само лицо. В сущности, речь здесь идет о древней софистической загадке «Куча». Один камень – не куча. Два камня – тоже. С какого количества камней начинается куча? Ответ таков: один камень – это уже куча, т.е. фон, внутри которого находится множество частей (дхарм), а куча камней – это уже один камень (одна дхарма) и не куча.

Мы мыслим так, как мы видим, и видим так, как мыслим, ибо мышление и видение – это один и тот же праязык, составляющий бытие нашего мозга. В этом праязыке есть только дхармы. То, что не является дхармой D, есть ее фон, который легко превращается в новую дхарму D. Возникает череда дхарм, будто дремучий лес, сквозь который пробирается самосознание.

В машинной логике этот фон не экзистенциален, и поэтому аксиома выбора работает только на пространстве. Но именно ее ментальная версия создает ситуации, при которой любой наш выстрел, если он не попал куда-либо (в пространстве), угодил в никуда – в фон. Мы мыслим ничто. И поэтому всякая дхарма D погружена в это ничто. Заметим, что экзистенциальным фоном самого этого рисунка, взятого целым как дхарма, не различая того, что внутри него, оказывается уже белое полотно страницы, на котором мы видим этот рисунок. Экзистенциальным фоном этой страницы является дисплей или книга, с которых этот текст читается, за дисплеем – стол, за столом – комната, за комнатой – уличное пространство и т.д. Возникает ряд все новых фонов, будто множество матрешек, вложенных друг в друга. Но должна ведь быть последняя матрешка – как сверху, так и снизу!

Если говорить о топологическом пространстве, то последняя сверху матрешка может быть сколь угодно большой в формальной последовательности: Х, Р(Х), Р(Р(Х)), Р(Р(Р(Х)))… Но обычно математики ограничивают свои интересы лишь несколькими языковыми уровнями. Ведь математика изучает не то, из чего могли бы состоять эти языковые уровни (молекул, камней или звезд), а их взаимоотношения друг с другом. Если вы знаете, как первая матрешка вкладывается во вторую, а вторая – в третью, вам уже не нужно выяснять, как 33 матрешка вкладывается в 34. Важно то, что последним снизу является пустое множество О.

Если говорить о физическом мире, то последней сверху матрешкой оказывается глобальный горизонт Вселенной. Последней матрешкой снизу является вакуум. Опираясь интуитивно именно на это свойство нашего мышления и тождественного ему бытия Демокрит за две тысячи лет до появления простейших микроскопов Левенгука заявил, что вещество состоит из неделимых атомов (квантов) и пустоты (вакуума). Иначе говоря, на вопрос: «Из чего выросло это дерево?», - некий глубокомысленный волхв с Востока должен ответить, минуя всю эволюционную цепь от дерева до семени, от семени до клетки, от клетки до атома, от атома до вакуума и от вакуума до Дао, так: «Из того, что даже назвать нельзя, но которое принимает для нас статус ничто».

В историческом плане теорема Геделя о неполноте формальных систем не подтвердила тезис Черча и поставила крест на мечте Луллия об открытии механистическим путем всех «божественных истин». Впрочем, следует сразу сказать, что этот результат имеет скорее теоретическое значение, чем практическое, поскольку касается очень специального, пограничного случая, внутри которого ничто не мешает развитию кибернетики, т.е. искусственного интеллекта. Он лишь выражает догадку о принципиальном препятствии тому, чтобы этот искусственный интеллект, сколь бы ни был он эффективен в логико-механистических процессах, не способен обрести то качество, которое отличает нас от любой сверхсложной и успешной машины, - самосознание, позволяющее мозгу воспринимать себя как автономную личность. Выражаясь образно, никакая машина не способна узнать себя в зеркале, испытав прилив нежности или отвращения к этому единственному из миллионов подобных облику, и сказать: «Я – лжец!». Но именно абстрактная ценность этой теоремы и является предметом нашего рассмотрения. Гедель, сам того, вероятно, не сознавая, выразил фундаментальный принцип, который отличает западный панлогизм от восточного мистицизма, хотя весь этот «мистицизм» есть в действительности лишь выражение интуитивной и совершенно рациональной догадки о том, что самосознание и тождественный ему мир не полны.

Согласно результату Геделя, невозможно вывести даже все истины, ограниченные арифметикой. Этот результат получен им в три этапа.

1. Всякая формальная теория Th начинается с языка, а язык – с алфавита (элементов или точек). Простая комбинаторика позволяет получать из этого алфавита любые сочетания символов (подмножества или объекты пространства), но очевидно, что большинство из них будут бессмысленными выражениями. Поэтому на первом этапе необходим синтаксический алгоритм, отсеивающий правильные формулы вида «Мама мыла раму» от бессмысленных вроде «Амла мара мыму».

2. На втором этапе все правильные формулы должны разделиться на истинные и ложные. Но поскольку понятие истины является интуитивным и к тому же зависит от нашей субъективной диспозиции, то оно заменяется понятием непротиворечивости в рамках набора аксиом, которые признаются… ну, если не истинными, то, по крайней мере, очевидными (как, например, аксиомы Евклида) или эффективно работающими (как неевклидова геометрия). А далее к этим аксиомам применяется формальная логика с ее правилами вывода (modus ponens и т.д.). Теория Th является непротиворечивой, если в ней невозможно вывести как формулу А, так и ее отрицание не-А.

3. Затем Геделю понадобилась процедура нумерации всех выводимых в теории (на базе аксиом Пеано) формул, чтобы приписать каждой из них индивидуальное имя-номер, поскольку цель всей этой работы заключалась именно в том, чтобы получить абракадабру – формулу, которая говорила бы что-то о своем собственном номере, т.е. о себе самой. С помощью громоздкой системы нумерации символов, используя замечательные свойства простых чисел, чтобы обеспечить каждой формуле единственный номер, ему это удалось. Это значило, что формализация арифметики теперь проводится средствами самой же арифметики, как если бы шахматные фигуры начали сами играть в шахматы собою же, став «непредикативными объектами». Нечто подобное происходит и в квантовой физике, где экспериментатор сам становится непредикативным объектом как часть эксперимента, поскольку должен наблюдать не столько частицу, сколько свое взаимодействие с частицей, описывая состояние такой системы в терминах вероятности. В этом смысле квантовую механику можно назвать непредикативной механикой. И поэтому совершенно естественно то, что в физике возникла собственная дилемма между «реализмом» и «номинализмом».

В полученной нумерации Геделя теперь некая непредикативная формула А в заданной интерпретации номеров означала «не существует вывода формулы A», то есть утверждала свою собственную невыводимость в Th. Получился парадокс лжеца: если А выводима, то Th лжет. Если же Th говорит правду, то ей нельзя верить. Следовательно, по теореме Геделя: если формальная арифметика Th непротиворечива, то в ней не выводима формула, содержательно подтверждающая непротиворечивость Th. Иными словами, непротиворечивость формальной арифметики не может быть доказана средствами этой арифметики. А если говорить еще шире: никакая супертеория не является самодостаточной.

Теореме Геделя о неполноте формальных систем можно придать и более простую интерпретацию. Всякая дедуктивная (не обязательно формальная) теория Th основывается на аксиомах (даже если мы не выявили их для себя и не догадываемся об этом). Обозначим их как Ах. Эти аксиомы являются, несомненно, истинными для данной теории, которая образует множество окрестностей этих аксиом (ультрафильтр). Ведь с них все и началось. Так, например, школьная геометрия вытекает из аксиом Евклида. Поэтому имеет место «причинный» порядок, при котором Ах лежит в основании Th:

Ax < Th или inf Th = Ax

Но ни одна из этих истинных аксиом не может быть выведена в теории, т.е. создать обратную ситуацию (в которой телега ставится впереди лошади):

Th < Ax

А если эта аксиома выводима, то является лишь следствием другой аксиомы, на которую просто перекладывается вся ответственность. Не выводимо, естественно, и ее отрицание, ибо тогда теория оказалась бы противоречивой. В наших обозначениях полнота непротиворечивой (истинной) теории Th должна была бы выглядеть так: