Чтение онлайн

Около 540 года, когда в кругу пифагорейцев пришли к пониманию числа как сущности всех вещей, это не было «шагом вперед в развитии математики», но было рождением из глубин античного духа совершенно новой математики, осознавшей себя теорией после того, как долгое время она уже проявлялась в метафизических проблемах и художественных формах. Греческая математика есть такая же новая математика, как и никогда не написанная математика Египта или алгебро-астрономическая математика вавилонской культуры, с ее эклиптическими координатными системами; обе они были порождены в великие часы истории и к тому времени давно уже уследи угаснуть. Одряхлевшая ко времени Рима античная математика исчезла из живого становления, несмотря на свое длящееся и поныне прозрачное существование в нашем способе обозначения; много позднее и в отдаленной стране она дала место арабской математике; за последней, давно умершей, следует после долгого промежутка, опять как совершенно новое творение новой почвы, наша западная математика; в удивительном ослеплении мы принимаем ее за всю математику, за вершину и цель двухтысячелетнего развития, но и для нее также строго отграничены столетия, ныне почти уже истекшие.

Изречение, что число представляет сущность всех чувственно-достигаемых вещей, остается самым ценным в античной математике. Оно определяет число как меру. В нем дано все мироощущение души, жадно обращенной к здесь и теперь. Мерить в этом смысле – значит мерить нечто близкое и телесное. Представим себе высшее достижение античного искусства – свободно стоящую статую нагого человека; здесь дано все важное и значительное греческого бытия, весь его этос, исчерпанный плоскостью, мерой и чувственными соотношениями частей. Пифагорейское понятие гармонии чисел, выведенное, может быть, из монофонной музыки, как будто нарочно создано для идеала этой пластики. Обработанный камень есть нечто, поскольку он имеет правильные границы и измеренную форму, поскольку он есть то, чем стал под резцом художника. Без этого он – хаос, нечто неосуществленное, то есть пока – ничто. Это чувство, распространенное на вселенную, создает в противоположность хаосу – космос, внешний мир античной души, гармонический порядок всех правильно оформленных и осязательно наличных отдельных вещей. Совокупность этих вещей и есть весь мир. Место же между ними, наше мировое пространство, наполненное всем пафосом великого символа, есть ничто, «to me on». Протяженность для античного человека означает телесность, для нас она имеет значение пространства, функцией которого «являются» вещи. Бросив отсюда взгляд назад, мы, может быть, разгадаем глубочайшее понятие античной метафизики, «апейрон» Анаксимандра, передать которое не в состоянии ни один язык Запада. Это то, что не имеет ни «числа» в пифагорейском смысле, ни определенной величины и границы, ни, следовательно, существа; безмерность, бесформенность, статуя, которая еще не высечена из глыбы. Это есть «архе», воззрительно безграничное и бесформенное, оно только посредством границы становится чувственной обособленностью, чем-то, то есть миром. Это – то, что лежит в основе античного познания, как априорная форма, как телесность в себе и точным соответствием чего в кантовской картине мира является абсолютное пространство, из которого Кант напрасно пытался «отмыслить все вещи».

Теперь становится ясным, что отличает одну математику от другой; особенно – античную от западноевропейской. Зрелая античная мысль по самому своему мироощущению могла видеть в математике только учение о соотношениях величины, меры и строения осязательных тел. Если, исходя из этого чувства, Пифагор высказывал определенные формулы, то ведь для него число было оптическим символом, не формой вообще или абстрактным отношением, но знаком границы ставшего, поскольку оно проявляется в чувственно обозримых единичностях. Весь без исключения античный мир понимал числа как единицы меры, как величины, отрезки, плоскости. Другой вид протяженности для него непредставим. Вся античная математика в последней основе стереометрия. Если Эвклид, закончивший в III веке ее систему, говорит о треугольнике, – он с внутренней необходимостью имеет в виду плоскость, ограничивающую тело, но ни в каком случае не систему трех пересекающихся прямых или группу трех точек в пространстве трех измерений. Он определяет линию как «длину без ширины» (meco aplates). В наше время такое определение казалось бы жалким. Но в пределах античной математики – оно превосходно.

Но и западноевропейское число развилось не из «априорных форм наглядного представления времени», как думал Кант и даже Гельмгольц, – оно является порядком однородных единиц, чем-то специфически пространственным. Время – чем дальше, тем это будет яснее – не имеет ничего общего с математическими объектами. Число принадлежит исключительно сфере протяженного. Но возможностей, а следовательно, и необходимостей представлять протяженное упорядоченным существует столько, сколько существует культур. Античное число – это мышление не пространственных отношений, а отграниченных, схватываемых чувственным глазом единств. Античный мир знает поэтому, как это с неизбежностью следует, только «натуральные» (целые положительные) числа, которые не играют никакой исключительной роли среди многих чрезвычайно абстрактных видов чисел западноевропейской математики, комплексных, гиперкомплексных, неархимедовых и других систем.

Представление иррациональных чисел – в нашем способе написания, следовательно, бесконечных десятичных дробей – было невыполнимо для греческого духа. Эвклид говорит – и его следовало бы лучше понимать, – что несоизмеримые отрезки соотносятся «не как числа». В осуществленном понятии иррационального числа заключен действительно полный разрыв понятия числа с понятием величины. Такое число, как к, например, никогда не может быть отграничение или точно представлено отрезком. Отсюда следует, что в представлении отношения, например, стороны квадрата и его диагонали, античное число, которое есть не что иное, как чувственная граница, законченная величина, затрагивает совершенно другую идею числа, глубоко чуждую античному мироощущению, даже жуткую, как будто греки приближаются здесь к открытию опасной тайны собственного существования. Это обнаруживается в замечательном позднегреческом мифе: тот, кто впервые извлек иррациональное из тьмы сокровенного, погиб при кораблекрушении, «ибо неизреченное и не имеющее образа должно всегда оставаться сокрытым». Тот же страх, который чувствуется в этом мифе, грек времени расцвета постоянно испытывает перед расширением своего крошечного государства-города до размеров политически организованной страны, также перед проведением широких проспектов и аллей с далекими видами, перед вавилонской астрономией, с ее проникновением в бесконечные звездные пространства, и перед выходом из Средиземного моря на пути, давно открытые египтянами и финикийцами, – глубокий метафизический страх перед растворением чувственно-осязаемого и наличного; им античный мыслитель окружил себя как крепостной стеной, за которой дремлет что-то жуткое, какой-то срыв в изначальную глубину искусственно созданного и утвержденного космоса. Кто понял это чувство, тот понял и последний смысл античного числа, меры в противоположность неизмеримому и высокой религиозный этос в его ограничении. Гете, как художник, страстно отдался этому чувству, по крайней мере в своих естественнонаучных занятиях; отсюда его почти что страхом продиктованая полемика против математики; эта полемика в действительности – чего еще никто как следует не понял – инстинктивно была направлена всецело против неантичной математики, против лежащего в основе естествознания его времени исчисления бесконечно малых.

Античная религиозность с возрастающей ясностью сосредоточивается в чувственно-наличных – связанных с местом – культах, которые только и представляют образную, осязаемую божественность. Античной религиозности всегда были чужды абстрактные догмы, теряющиеся в холодных пространствах мысли. Культ и догма относятся друг к другу как статуя к органу в храме. Эвклидовой математике, несомненно, присуще что-то родственное культу. Вспомним учение о правильных многогранниках и их значение для эзотерического учения последователей Платона. Этому, с другой стороны, отвечает глубокое родство анализа бесконечно малых начиная с Декарта с догматикой того времени в ее движении к чистому, свободному от всяких чувственных оболочек деизму. Вольтер, Лагранж и Даламбер – современники. Античная душа ощущала принцип иррационального, то есть разрушение скульптурного ряда целых чисел, представителей совершенного в себе мирового порядка, как преступление по отношению к самой божественности. У Платона в «Тимее» это чувство совершенно очевидно. Действительно, с превращением прерывных рядов чисел в непрерывность не только античное понятие числа, но и само понятие античного мира становится вопросом. Ясно, что в античной математике ни в каком случае невозможны отрицательные числа, которые мы представляем себе без затруднения, не говоря уже о нуле как числе. Нуль как число имеет вполне определенный метафизический акцент для индийской души, впервые его замыслившей. Отрицательных величин нет. Выражение – 2 х – 3 = + 6 и не наглядно и не является представлением величины. Ряд величин кончается +1. В графическом изображении отрицательного числа.+3.+2.+1.0.-1.-2.-3. начиная с нуля отрезки внезапно становятся положительными символами чего-то отрицательного. Они что-то значат, поэтому только и существуют. Отрицательные числа не суть величины, но нечто, что может быть только обозначено посредством величин. Выполнение этого акта не лежало, однако, в направлении античного мышления числа.

Все рожденное из античного духа возводится, таким образом, в ранг действительности исключительно посредством пластического ограничивания. Что не поддается изображению, то не «число». Платон, Архит и Евдокс говорят о квадратных и кубических числах, когда имеют в виду нашу вторую и третью степень; само собою разумеется, для них нет более высоких степеней. Четвертая степень была бы бессмыслицей для пластического чувства глубины, которое сейчас же подставляет четырехмерную протяженность. Для них являлось бы абсурдом выражение вроде еix, постоянно встречающееся в наших формулах, или хотя бы обозначение 5 1/2, которое встречается у Орема уже в XIV столетии. Эвклид называет множители произведения сторонами (pleyrai). Когда ищут в целых числах отношения двух отрезков, то имеют дело, само собою разумеется, с конечными дробями. Именно поэтому идея нуля как числа совершенно не может появиться, так как графически она не имеет никакого смысла.

Нельзя возражать, исходя из привычки нашего иначе ориентированного мышления, что такое представление числа именно и является «изначальной стадией» единой математики. Античная математика есть нечто совершенное внутри того мира, который античность творила вокруг себя. Но для нас она не такова. То, что для античного миропонимания казалось бессмысленным, вавилонская и индийская математика давно сделали существенной частью своего мира чисел, и некоторые греческие мыслители знали об этом. Единая математика, повторяем, – иллюзия. Действительно то, что адекватно и символически значимо для собственной душевности. Одно это «необходимо для мышления», остальное – невозможно, ошибочно, бессмысленно или, как мы с высокомерием исторического склада мысли предпочитаем говорить, «примитивно». Современная математика, шедевр западноевропейского духа, – «истинная» только для этого духа – показалась бы Платону смешным и тягостным заблуждением на путях кистинной математике, античной конечно; и мы едва ли можем составить себе сколько-нибудь определенное представление о том, как много мы упустили в великих концепциях чуждых культур, потому что не могли ассимилировать их исходя из нашего духа и его границ, или, что то же самое, понимали их как ложное, лишнее и бессмысленное.

Античная математика, как учение о наглядно представляемых величинах, хочет толковать исключительно фактическую наглядность, и она ограничивает, таким образом, свое исследование и область своей значимости предметностью близкого и малого. В противоположность этому ходу мыслей прикладной характер западной математики обнаруживается как нечто весьма нелогичное; это было ясно сознано лишь после открытия неэвклидовых геометрий. Числа – это чистые формы познающего духа. Их точная приложимость к реальной наглядности составляет ввиду этого особую проблему. Конгруэнтность математических систем с эмпирией меньше всего может считаться само собой разумеющейся. Вопреки предрассудку непосвященных, касающемуся непосредственной математической очевидности наглядного представления, как это встречается и у Шопенгауэра, геометрия Эвклида, которая имеет только поверхностное сходство с популярной геометрией всех времен, согласуется с наглядным представлением лишь приблизительно и в очень узких рамках («на бумаге»). Простой факт учит, что параллельные, как это бывает при больших удалениях, сходятся на горизонте. Вся перспектива живописи построена на этом. Вопреки этому Кант исходил из наивного сравнения величин; он, совершенно непростительно для западноевропейского мыслителя, уклонился от «математики далей» и исходил, совершенно по-«античному», из крошечных фигур, при которых, именно из-за их малости, не могла выявиться специфически западная, пространственная сторона проблемы бесконечно малых. Эвклид тоже избегал обращаться для наглядной достоверности своих аксиом к треугольнику, вершинами которого служат место наблюдателя и две неподвижные звезды и который, следовательно, не может быть ни нарисован, ни наглядно представлен. Но он имел на это право, как античный мыслитель. Здесь сказалось то же чувство, которое боялось иррационального, не решалось понимать ничто как число, как нуль и в рассмотрении космических явлений уклонялось от неизмеримого, чтобы сохранить символ меры.

Аристарх Самосский в 270 году дал систему мира, заново открытую Коперником; это второе открытие глубоко затронуло метафизические страсти Запада – вспомним Джордано Бруно, – оно было исполнением мощных предчувствий и утверждением того фаустовского, готического мироощущения, которое уже в архитектуре своих соборов отдало должную дань идее бесконечного пространства. Но античный мир с совершенным безразличием принял мысли Аристарха Самосского и скоро – можно сказать, намеренно – его забыл. Для этой культуры система мира Аристарха душевно была пуста. Она могла бы стать даже опасной для ее основной идеи. И все же, в отличие от системы Коперника – на этот решающий факт никогда не обращали внимания, – при некотором особом понимании система Аристарха вполне подходила к античному мироощущению. Законченный космос Аристарх представлял себе в виде полого шара, вполне не ограниченного телесно, подчиненного взору, в середине которого находится аналогично Копернику понимаемая планетная система. Таким путем преодолевался принцип бесконечности, который мог бы подвергнуть опасности чувственно-античное понятие границы. Не возникает и мысли о безграничном мировом пространстве, хотя здесь она казалась бы неизбежной – ее концепция давно уже удалась вавилонскому мышлению. Наоборот: в своей замечательной работе о «числе песчинок», являющейся, как показывает и само слово, устранением всяких тенденций бесконечного, хотя в ней и видят первый шаг к интегральному счислению, Архимед доказывает, что это стереометрическое тело – а космос Аристарха не был ничем иным, – наполненное атомами (песчинками), приводит в результате счета к очень большому числу, а. не к бесконечности. Но это и значит решительно отрицать все то, в чем для нас смысл анализа. Как доказывают постоянно терпящие крушение и вновь навязывающиеся духу гипотезы материального, то есть воззрительно представляемого, мирового эфира, вселенная нашей физики есть строжайший отказ от всякой материальной ограниченности. Платон, Аполлоний и Архимед, несомненно самые тонкие и смелые математики античного мира, с большим совершенством провели на основе пластически-античного понятия предела чисто оптический анализ ставшего. Они пользовались глубоко продуманными и нам мало доступными методами некоторого интегрального счисления, имеющего только кажущееся сходство с методом определенного интеграла Лейбница, и они применяли геометрические места и координаты, которые были только именованными числами мер и отрезками, а не как у Ферма и особенно у Декарта – отвлеченными пространственными отношениями, значениями точек в отношении к их положению в пространстве. Сюда прежде всего относится метод исчерпывания Архимеда в его открытом недавно письме к Эратосфену, где он основывает, например, квадратуру сегмента параболы на вычислении вписанных прямоугольников (уже не подобных многоугольников). Но именно тот остроумный, бесконечно сложный способ, которым он, опираясь на известные геометрические идеи Платона, приходит к определенному результату, делает едва заметным огромную противоположность между этой интуицией и лишь внешне сходной с ней интуицией Паскаля. Нет более резкой противоположности – если совершенно отвлечься от римановского понятия интеграла, – чем квадратуры Архимеда и то, что, к сожалению, до сих пор называется «квадратурами», при которых «плоскость» рассматривается как ограниченная некоторой функцией и о какой бы то ни было наглядности нет и речи. Нигде обе математики так близко не подходят друг к другу, и нигде так не чувствуется непроходимая пропасть между двумя душами, выражением которых они являются.

Чистые числа, феномен которых египтяне из глубокого страха перед их изначалом как бы скрывали в стиле своих храмов, пирамид и рядов статуй, были и для эллинов ключом к смыслу ставшего, застывшего и, следовательно, преходящего. Математическое число как формальный основой принцип протяженного мира существует только у бодрствующего человеческого сознания и для него; посредством причинной необходимости оно стоит в том же отношении к смерти, в каком хронологическое число – кстановлению, к жизни, к необходимости судьбы. Эта связь математической формы с концом органического бытия, с явлением его неорганического остатка, трупа, будет все яснее вырисовываться как источник всякого великого искусства. Мы уже отметили развитие ранней арифметики из погребального культа. Числа – символы преходящего. Застывшие формы отрицают жизнь. Формулы и законы распространяют оцепенение по лику природы. Числа убивают. Это Матери Фауста, величаво царящие в одиночестве: