Чтение онлайн

В то время как античная душа благодаря Пифагору в 540 году приходит к концепции своего собственного аполлоновского числа, душа Запада в точно соответственное время нашла благодаря Декарту и его поколению (Паскаль, Ферма, Дезарг) идею числа, которая родилась из фаустовской страсти к бесконечному. Число как чистая величина, которое приурочено к предметной действительности отдельных вещей, находит свою противоположность в числе как чистом отношении. Если античный мир, космос, определяется глубокой потребностью в видимой ограниченности как исчислимой суммы материальных вещей, то наше мироощущение воплощается в картине бесконечного мира, в котором все видимое воспринимается как нечто обусловленное в противоположность безусловному, как действительность второго сорта. Его символом является основное понятие функции, никакой другой культуре неизвестное. Функция – это ни в каком случае не расширение какого-нибудь прежнего понятия числа; она его полное преодоление. Не только Эвклидова, то есть общечеловеческая, популярная геометрия, но и архимедовская область элементарного счисления, арифметика, перестает существовать в математике, действительно важной для Западной Европы; здесь может иметь место только абстрактный анализ. Для античного человека геометрия и арифметика были науками огромного значения; они обе наглядны, обе в счете или чертеже оперируют с величинами; для нас они только практические средства обыденной жизни. Сложение и умножение, оба античных метода счисления величин, совершенно исчезают в бесконечности функционального процесса. Степень, которая сначала является только числовым знаком определенной группы умножения (для множителей одной и той же величины), совершенно освобождается от понятия величины посредством нового символа показателя (логарифма) и его применения к комплексным, отрицательным, дробным формам и переводится в трансцендентный мир отношений, который был бы совершенно чужд грекам, знавшим только две положительные целые степени, представляющие площади и тела (следует вспомнить о выражениях, подобных).

Каждое из глубоких творений, которые со времен Возрождения быстро следуют одно за другим, как: мнимые и комплексные числа, которые введены Карданом еще в 1550 году; бесконечные ряды, теоретически обоснованные Ньютоном после его великого открытия бинома в 1666 году; логарифмы в 1610 году; дифференциальная геометрия; определенный интеграл Лейбница; множество как новое числовое единство, уже намеченное Декартом; новые действия, как то: неопределенные интегралы, разложение функций в ряды и даже бесконечные ряды других функций, – каждое из этих открытий является также победой над популярно-наглядным чувством числа, которое должно было быть преодолено духом новой математики, осуществлявшей новое мироощущение. Не было другой культуры, которая наследию старой, давно угасшей культуры воздавала бы столько почестей и допускала бы с ее стороны столько влияния, сколько западноевропейская по отношению к культуре античной. Много прошло времени, прежде чем мы нашли в себе мужество думать свои думы. В основе лежало постоянное желание подражать античному. Тем не менее всякий шаг вперед был фактическим удалением от поставленного идеала. Поэтому история западноевропейского знания – это растущая эмансипация от чуждого, история освобождения, которого вовсе не хотели, но которое вынуждалось глубинами бессознательного. Так развитие новой математики принимает вид скрытой, долгой, наконец, победоносной войны против понятия величины.

Античные предрассудки помешали нам отметить новое в западноевропейском числе как таковом. Современный символический язык математики искажает сущность дела, и прежде всего ему следует приписать, что еще и поныне математиками разделяется взгляд, будто числа суть величины, – на этой предпосылке, во всяком случае, покоится наша письменная система обозначения.

Новое число – это не отдельные знаки (x, , 5), применяемые для выражения функции, но сама функция как единство, как элемент, изменчивое, в наглядные границы более не вмещаемое отношение. Для него была бы нужна новая символика, по самой своей структуре свободная от античных воззрений.

Необходимо уяснить себе разницу двух уравнений – даже само слово «уравнение» не следовало бы применять к таким совершенно разным вещам, например 3x + 4x = 5х и xn+ yn = zn (уравнение Ферма). Первое состоит из многих «античных чисел» (величин), второе есть одно число совершенно другого рода; это маскируется одинаковым способом написания, символика которого развилась под влиянием эвклидо-архимедовских представлений. В первом случае знак равенства есть установка неизменной связи определенных, осязаемых величин; во втором знак равенства представляет некоторое отношение, существующее внутри группы переменных образований, такого рода, что определенные изменения необходимо влекут за собой известные другие. Первое равенство имеет целью установку (измерение) конкретной величины, «результата», – второе вообще не имеет никакого результата, но является отображением и знаком отношения, которое для n > 2 – это и есть знаменитая проблема Ферма – исключает целые значения, что, вероятно, доказуемо. Греческие математики не могли бы понять, чего, собственно, хотят от этого рода операций, конечной целью которых не является «вычисление».

Понятие неизвестных вводит в полное заблуждение, если его применять к буквам уравнения Ферма. В первом, «античном» уравнении, х есть величина определенная и измеримая, которую остается только найти. Во втором – для х, у, z, n – слово «определить» не имеет никакого смысла; следовательно, «значения» этих символов вовсе не собираются искать; следовательно, они вообще не числа в пластическом смысле, но знаки для зависимости, у которых отсутствуют признаки величины, образа и однозначности, знаки для бесконечности возможных положений одинакового характера; они являются числом, только постигнутые как единство. В уравнении применяется много вводящих в заблуждение знаков. Но не х, у, z, как и не + и не =, не являются числами. Фактически все уравнение в целом есть одно-единственное число.

Ибо уже с понятием иррационального, вполне антиэллинского числа распалось в своей глубочайшей основе понятие конкретного, определенного числа. Теперь уже эти числа перестают быть обозримым рядом возрастающих, дискретных, пластических величин, но образуют одномерный континуум, в котором всякий разрез (в смысле Дедекинда) представляет «число», и ему не следовало бы иметь старого обозначения. Для античного духа возможно только одно число между 1 и 3; для западноевропейского – бесконечное множество. Наконец, с введением мнимых и комплексных чисел (общей формы a + bi), которые расширяют линейный континуум в высокотрансцендентную конструкцию числового корпуса (совокупности множества однородных элементов), где каждое сечение представляет числовую плоскость, – бесконечное множество более ограниченных «мощностей», например совокупность всех реальных чисел, – все это разрушает последний остаток антично-популярной осязаемости числа. Эти числовые плоскости, которые со времени Коши и Гаусса играют важную роль в теории функций, суть чистые построения мысли. Положительное иррациональное число, например, могло бы еще быть создано из античного понимания числа, хотя бы и отрицательного, причем как число оно исключалось бы – как «arretos» и «alogos», но выражения формыx + yi лежат уже по ту сторону всех возможностей античного мышления. На распространении арифметических законов на всю область комплексного, внутри которой они всегда остаются применимыми, покоится теория функций; она дается, наконец, во всей чистоте только западноевропейской математикой, причем охватывает, растворяет в себе все частные области. Только таким путем эта математика становится вполне приложимой к одновременно с ней развивающейся динамической физике Запада, тогда как античная математика оказывается точным коррелятом того мира пластических единичных вещей, картину которого дает статическая физика Аристотеля, точная научная интерпретация античного космоса.

Классическим столетием этой математики барокко – в противоположность математике ионического стиля – был XVIII век: решающее открытие Ньютона и Лейбница ведет через Эйлера, Лагранжа, Лапласа, Даламбера к Iayccy. Развертывание этого могущественного духовного творчества свершилось как чудо. Едва осмеливались верить тому, что видели. Открывались истины за истинами, которые казались бы невозможными утонченным умам скептически настроенного века. К этому веку расцвета относится изречение Даламбера: «Allez en avant et la loi vous viendra» [5] . Дело шло о теории производных. Сама логика, казалось, протестовала против того, чтобы все допущения основывать на ошибках, но цель все же была достигнута.

Это было столетие высокого упоения в проникновенных, недоступных чувственному глазу формах – ибо рядом с творцами анализа стоят Бах, Глюк, Гайдн, Моцарт, – когда небольшой круг избранных и глубоких умов предавался роскоши тончайших открытий и игры форм, от которой Гете и Кант стояли в стороне; это столетие по содержанию точно отвечает наиболее зрелому веку ионики, веку Платона, Архита и Евдокса (450–350), – а также, скажем опять, Фидия, Поликлета, Алкамена и строителей Акрополя, – веку, в котором мир форм античной математики и пластики до конца расцвел во всей полноте своих возможностей.

Теперь только можно окинуть взором противопоставление античной и западной души в их элементах. Нет ничего более внутренне чуждого в пределах всей картины истории человечества на высшей ступени его развития. И именно потому, что противоположности сходятся, что они указывают на нечто, может быть, общее в последней глубине существования, – мы встречаем в западноевропейской, фаустовской душе тревожное искание идеала аполлоновской; только эту душу постигла она среди всех других и завидовала ее преданности чувственно-чистой действительности.

Эту душевную противоположность, не укладывающуюся даже в рамки слов, осуществляют во внешнем мире ставшего, ограниченного, преходящего исторические единства античной и западноевропейской культур, из которых одна начала цвести в позднемикенское время, другая – ко времени саксонских королей, и обе закончили свое развитие Аристотелем и Кантом, Платоном и Гете, Фидием и Бетховеном, Александром и Наполеоном.

Теперь только чувствуется все значение символики, нашедшей в мире чисел обоих математик свое, может быть, непосредственнейшее выражение, но область которой выходит далеко за пределы математики. Оказывается, что математика говорит одним языком со всеми сопровождающими ее искусствами, со всеми вообще творениями деятельной жизни, – языком форм, в котором последние возможности душевного и открываются и укрываются. С математикой теснейшим образом связана мистическая архитектура ранних эпох – дорическая, готическая, раннехристианская и египетская Древнего царства. Здесь, в египетской культуре, обе формы никогда не разделялись. Архитектура великих пирамид – это молчащая математика; но и античная душа никогда резко не разграничивала скульптурной и геометрической символики. Анализ также есть архитектура величайшего стиля, и мы донимаем теперь, почему две системы чисел, из которых одна так же пылко утверждает наличность наглядного предела, как другая ее отрицает, должны были существовать рядом с ионической пластикой и немецкой музыкой как родственные искусства, самое чувственное и самое нечувственное из всех возможностей художественной силы воплощения.

Было замечено, что в определенный момент жизни первобытного человека и ребенка у них появляется некоторое внутреннее переживание, рождение «Я», и с этого момента им становится доступным феномен числа, а следовательно, и отнесенный к «Я» окружающий мир.

Из хаоса впечатлений перед изумленным взором первобытного человека выступают огромные очертания проясняющегося мира упорядоченной протяженности, мира «ставшего», полного значений. Когда глубоко воспринятое неустранимое противоположение этого внешнего мира собственной душе дает осознанной жизни направление и облик, тогда одновременно с рождением всех вообще возможностей новой культуры в душе, внезапно постигшей свое одиночество, пробуждается изначальное чувство искания. Это – искание цели становления, искание законченности и осуществленности всех внутренних возможностей, раскрытия идеи собственного существования. Это искание ребенка, которое все яснее выступает в сознании как чувство неудержимой направленности и как загадка времени стоит перед зрелым духом – жуткая, манящая, неразрешимая. Слова «прошлое» и «будущее» получают вдруг смысл неумолимой судьбы.