Чтение онлайн

Что бы вы отнесли к самым ярким достижениям последнего времени в математике в целом?

– Если говорить о рекордах, покоренных вершинах, - Перельмана мы уже назвали, ну и, естественно, Уайлз - теорема Ферма.

Работа Уайлза дала импульс для развития новых областей науки?

– Об этом мне судить труднее, чем о работах Перельмана. Насколько я понимаю, идеи Уайлза еще не проникли достаточно глубоко в смежные сферы математики. К тому же работа Уайлза очень сложная. Были попытки написать более простое доказательство - я в них сам не разбирался, но есть ощущение, что весь этот аппарат понят пока лишь очень немногими. С Перельманом ситуация все-таки другая, и уже ясно, что кроме чисто "спортивного" успеха у него сделано нечто большее.

Мы когда-то писали о задачах-вызовах, за решение которых обещаны призы в миллион долларов. Как вы считаете, такие вызовы стимулируют развитие науки или только спортивную ее сторону?

– Есть два типа жизни в математике. Два способа мышления. Вызовы, знаменитые проблемы, которые многие хотят решить, привлекают людей определенного склада ума, их можно назвать великими спортсменами. Они хотят выиграть. Хотят получить золото. Но есть и те, кто стремится открывать неизвестные острова, материки. Такие люди делают работы, нацеленные не на решение проблем, а на открытие новых направлений. И то и другое замечательно, и то и другое стимулирует развитие науки.

Можно ли привести недавние достижения, относящиеся ко второму типу?

– Я бы назвал пионерские работы по теории узлов (см. врезку.
– Л.Л.-М.). Возник новый язык, открыты многочисленные и очень интересные инварианты узлов - полином Джонса, инвариант Васильева. Проблема классификации узлов пока не решена. Но открыт новый мир, мир инвариантов, которые управляют узлами, и сейчас этим миром занимаются ради него самого. Жизнь в этом мире необычайно увлекательна, изучать инварианты так интересно, что люди занимаются ими, даже не будучи уверены в том, что проблема классификации будет решена. К тому же эта область имеет массу приложений, в первую очередь в физике. Надо сказать, что все по-настоящему глубокие вещи в математике так или иначе связаны с какими-то соображениями из математической физики.

Значит, наибольший толчок развитию математики дает именно физика? Или компьютерный мир тоже?

– Полагаю, что и физика, и компьютерный мир. Физика мне ближе, я все-таки занимаюсь сейчас гамильтоновыми системами и вижу массу новых идей, возникающих из приложений в физике и механике. Второе, что я вижу, - в компьютерном мире (понимаемом широко) возникает очень много идей, которые важны для фундаментальной математики. Я бы назвал еще и биологию как важный источник задач для современной математики. Но это лишь то, что связано с моими собственными научными интересами.

Над чем вы сейчас работаете?

– Над проблемой интегрирования гамильтоновых систем дифференциальных уравнений (эти системы возникают в огромном количестве задач классической механики и других областей физики.
– Л.Л.-М.). Недавно мы с моими сотрудниками открыли новые инварианты таких систем, позволяющие их классифицировать. Есть известная прикладная задача: даны две системы дифференциальных уравнений, описывающие какие-нибудь процессы, вопрос - эквивалентны ли эти системы? Может быть, на самом деле процесс один и тот же, просто уравнения записаны в разных системах координат? Желательно иметь такие инварианты, которые можно вычислить для каждой из систем и посмотреть: если инварианты совпали, то системы эквивалентны, не совпали - не эквивалентны. Вот такие инварианты мы нашли несколько лет тому назад - это графы с некоторыми метками. Они применимы к разным классам систем, в первую очередь к динамике твердого тела - к движению твердого тела в жидкости, в том числе намагниченной, к движению тела с полостями, тела с неголономными связями. В частности, мы с А. Болсиновым доказали теорему об эквивалентности двух известных систем уравнений: движения твердого тела (случай Эйлера с закрепленной точкой) и динамики геодезических на эллипсоиде. Причем там очень тонкий эффект - эквивалентность есть, но ее нельзя сделать гладкой.

Теория узлов

В отличие от функций Морса и гомологий, теория узлов имеет дело не с многомерными абстракциями, а с узлами в самом прямом житейском смысле слова - заплетенными веревками со связанными концами. До сих пор никому не удалось найти алгоритм, определяющий, одинаковы ли два заданных узла - то есть можно ли один из них превратить в другой, не разрывая и не развязывая веревку. Если бы мы жили в плоскости, никаких узлов у нас бы не было - их в плоскость не засунешь. В четырехмерном пространстве любой узел можно превратить в обычное колечко, а его потом - в любой другой узел, так что вопрос снимается. Но вот в нашем 3D узлы оказались настолько запутанными, что вокруг них образовалась целая наука - как теперь выясняется, имеющая прямой выход в квантовую теорию поля. На рисунке - сложный на вид узел, но - кто бы мог подумать!
– это лишь иллюзия, перед нами обычное, незаузленное кольцо.

Что сейчас мотивирует студентов мехмата? Они нацелены именно на науку или просто хотят получить хорошее образование, престижный диплом, чтобы затем заняться чем-нибудь другим?

– Как всегда - далеко не все видят себя будущими учеными.

Как всегда? То есть радикальных изменений вы не замечаете?

– Нет, не замечаю. И раньше основная масса студентов хотела получить хорошее образование, которое обеспечит им достойное место в обществе. Наши студенты пять лет учатся совершенно уникальному способу мышления. Тут и логика, и гибкость формирования понятий, и умение формализовать прикладную задачу для математики. Это получают все, даже не круглые отличники. В этом, собственно, основная польза от изучения фундаментальных наук - математики, по крайней мере. Но тех, кто потом пойдет работать в фундаментальную науку, немного. Таких действительно стало меньше, чем раньше, поскольку в последние годы был внедрен новый тип психологии - стремление зарабатывать деньги. Это хорошо. Но есть люди, которые понимают, что не в деньгах счастье. И которые странным образом - разумеется, от денег не отказываясь, - видят свое будущее в более… ну, что ли, идеализированном виде. Такие ребята всегда были и будут, на них, собственно, и держится фундаментальная наука. Они хотят получить в жизни минимальный фундамент под ногами, но в целом ориентированы на эдакую идеальную действительность.

Нет ли у вас ощущения, что теперь у студентов не то чтобы культурный уровень снизился, а просто это другой культурный слой, не тот, что раньше?

– Это есть. И опять же объясняется сменой идеологии. Ребята, начиная с 4–5-го курса, вынуждены зарабатывать деньги. Причем не всегда потому, что не хватает на жизнь. Их подталкивает атмосфера в обществе в целом: идея, что необходимо иметь большие деньги. Это мешает многим, рождает прагматизм, в целом студенты стали более прагматичны. Раньше, когда зарплаты были более-менее унифицированы, для каждого слоя был свой уровень доходов: кандидат, доктор, профессор, инженер. В те годы люди тратили меньше свободного времени на зарабатывание дополнительных денег. Сейчас вы можете, потратив свое время, заработать денег все больше, больше, больше и больше. Далеко не все могут на этом пути остановиться, в том числе и студенты. Это затягивает. Это увлекает. Ты можешь обедать в студенческой столовой, или в профессорской столовой на втором этаже, или в кафе, в ресторане, в шикарном отеле - верхней границы нет.

Многих привлекает процесс подъема по жизненным ступенькам. В итоге у людей не остается времени, которое раньше мы отдавали культуре, искусству, хобби, разговорам о живописи, о науке, о музыке, о театрах, о путешествиях, о книгах, о стихах. В коридорах мехмата все реже слышишь такие разговоры. Это накладывает заметный отпечаток на среду в целом. Она изменилась. Я не знаю, хуже это или лучше. Но думаю, что это не очень хорошо.

Как же может развиваться дальше мир или страна, чтобы ситуация изменилась? Какие могут быть сценарии?

– Не знаю. Вернуться в прошлое невозможно, нельзя войти в одну реку дважды. Но тот капитализм, который существует у нас, вредит более широкому, научному взгляду на жизнь.

А как же Запад, опять-таки: там все это существует уже давно, и тем не менее..

– Российская культура всегда была и пока остается более широкой, энциклопедической. Запад уже давно предпочел идеологию узкой специализации, вследствие чего нередко достигается высокий спортивный результат в каждой области, когда все брошено на достижение одной цели. Это очень хорошо и важно, но за это приходится платить - людям и обществу в целом - меньшим энциклопедизмом, чем у нас. То же самое мы видим и в математике. Это разные стили мышления. Неясно, что лучше или хуже, и там и там есть плюсы и минусы - просто разный стиль.

Больше тридцати лет назад вы делали на мехмате доклад о топологическом подходе к строению натурального ряда чисел: 1, 2, 3, …

– Да, было такое.

Там был очень необычный подход к самым основам математики. Думаете ли вы время от времени о такого рода "вечных вопросах"?

– О строении натурального ряда думаю, но, к сожалению, только изредка. Эта работа - точнее, просто мысль, идея, - была давно, она меня сильно увлекала и до сих пор увлекает: как описать поведение очень больших чисел. Настолько больших, что они даже чуть-чуть "размытыми" становятся. Это ни к чему конкретному не привело, и времени на это у меня не очень много. Но иногда такие мысли всплывают, и они мне очень нравятся - несмотря на то что ничего конкретного доказать я, может быть, и не смогу. Однако просто для себя полезно поразмышлять в неформализованном, чисто интуитивном стиле. Я хорошо понимаю Анри Пуанкаре (он один из авторов интуиционизма в математике), который считал интуицию важнейшей формой математического мышления. Это вещь абсолютно неформализуемая. У каждого математика есть свое представление об этом, его очень трудно объяснить. Да и не нужно. Но интуиция сродни озарению - озарение вещь тоже очень зыбкая, философски трудно объяснимая, трудно комментируемая, - но это работает. Интуиция и озарение - одно и то же по большому счету. У меня к этому есть склонность, вкус, к тому же я понимаю, что такие размышления иногда помогают даже в конкретных задачах.