Чтение онлайн

Если обобщить содержание данных двух книг в одной фразе, то будет недоумение по поводу того, как математика, утрачивая определённость, каким-то образом сумела найти истину. В таком свете вовсе не удивительно, что среди деятелей сионисткой науки достаточное число тех, у кого голова является местом пересечения ума и безумия.

И здесь нет нагнетания страстей и эмоций вместе с использованием недопустимых методов для дискредитации противника, ибо сам М. Клайн задаётся вопросом: «Может ли тело продолжать жить, если разум и дух помутились?»5. И сам на него отвечает: «Может! И это относится и к человеку, и к математике»6.

Однако, поскольку «краткий обзор избранной темы содержится уже во введении», то автор даёт возможность М. Клайну высказаться по данному вопросу без спешки, каких-либо изъятий, хотя и вкратце, ибо он такие вещи может делать. Принадлежащая его перу цитата целиком составляет содержимое следующего подпараграфа7.

О чём не часто говорят? Одни трагедии порождают войны, голод, чуму, другие – в мире идей – вызваны ограниченностью человеческого разума. Эта книга – горестный рассказ о бедствиях, выпавших на долю математики – наиболее древнего и не имеющего себе равных творений людей, плода их неустанных и многообразных усилий, направленных на использование способности человека мыслить.

Можно также сказать, что эта книга на общедоступном уровне повествует о расцвете и закате величия математики. Позволительно спросить: уместно ли говорить об упадке математики в наше время, когда её границы расширились, когда научная деятельность в области математики ведётся во всё возрастающих масштабах и достигла небывалого расцвета, когда ежегодно публикуются тысячи работ по математике, всё большее внимание привлекают вычислительные машины и когда поиск количественных соотношений захватывает всё новые области, особенно в биологических и социальных науках? В чём же причина трагедии? Прежде чем ответить на эти вопросы, следует напомнить, какие достижения математики снискали ей высочайший авторитет, всеобщее признание и славу.

С самого зарождения математической науки как самостоятельной отрасли знания (у колыбели которой стояли древние греки) и на протяжении более чем двух тысячелетий математики занимались поиском истины и добились на этом пути выдающихся успехов. Необозримое множество теорем о числах и фигурах, казалось, служило неисчерпаемым источником абсолютного знания, которое никогда и никем не может быть поколеблено.

За пределами самой математики математические понятия и выводы явились фундаментом замечательных научных теорий. И хотя новые факты устанавливались в результате сотрудничества математики и естествознания, опирающегося на данные, имеющие нематематический, скажем физический, характер, они казались столь же непреложными, как и принципы самой математики, потому что предсказания, которые делались на основе математических теорий в астрономии, механике, оптике и гидродинамике, необычайно точно совпадали с данными наблюдений и экспериментов. Математика давала ключ к глубокому постижению явлений природы, к пониманию, заменявшему тайну и хаос законом и порядком. Человек получил возможность с гордостью взирать на окружающий мир и заявлять, что ему удалось раскрыть многие тайны природы, по существу оказавшиеся серией математических законов. Убеждением в том, что истины открывают математики, проникнуто известное высказывание Лагранжа: «Ньютон был счастливейшим из смертных, ибо существует только одна Вселенная, и Ньютон открыл её законы».

Для получения своих удивительных, мощных результатов математика использовала особый метод – метод дедуктивных выводов из небольшого числа самоочевидных принципов, называемых аксиомами; этот метод знаком каждому школьнику – прежде всего из курса геометрии. Природа дедуктивного вывода такова, что она гарантирует истинность заключения, если только истинны исходные аксиомы. Очевидная, безотказная и безупречная логика дедуктивного вывода позволила математикам извлечь из аксиом многочисленные неоспоримые и неопровержимые заключения. Эту особенность математики многие отмечают и поныне. Всякий раз, когда нужно привести пример надёжных и точных умозаключений, ссылаются на математику.

Успехи, достигнутые математикой с помощью дедуктивного метода, привлекли к ней внимание величайших мыслителей. Математика наглядно продемонстрировала возможности и силу человеческого разума. Почему бы не воспользоваться, спросили мыслители, столь хорошо зарекомендовавшим себя дедуктивным методом для постижения истин там, где прежде безраздельно властвовали авторитет, традиция и привычка, – в философии, теологии, этике, эстетике и социальных науках? Человеческий разум, столь эффективный в математике и в математической физике, мог бы стать арбитром помыслов и действий также и в других областях, приобщив их к красоте истины и истинности красоты. В эпоху, получившую название эпохи Просвещения (или Века разума), методология математики и даже некоторые математические понятия и теоремы были применены к другим областям человеческой деятельности.

Обращение к прошлому – плодотворный источник познания настоящего. Созданные в начале XIX в. необычные геометрии и столь же необычные алгебры вынудили математиков исподволь – и крайне неохотно – осознать, что и сама математика, и математические законы в других науках не есть абсолютные истины. Например, математики с досадой и огорчением обнаружили, что несколько различных геометрий одинаково хорошо согласуются с наблюдаемыми данными о структуре пространства. Но эти геометрии противоречили одна другой – следовательно, все они не могли быть одновременно истинными. Отсюда напрашивался вывод о том, что природа построена не на чисто математической основе, а если такая первооснова и существует, то созданная человеком математика не обязательно соответствует ей. Ключ к реальности был утерян. Осознание этой потери было первым из бедствий, обрушившихся на математику.

В связи с появлением уже упоминавшихся новых геометрий и алгебр математикам пришлось пережить шок и другого рода. Математики настолько уверовали в бесспорность своих результатов, что в погоне за иллюзорными истинами стали поступаться строгостью рассуждений. Но когда математика перестала быть сводом незыблемых истин, это поколебало уверенность математиков в безукоризненности их теорий. Тогда им пришлось взяться за пересмотр своих достижений, и тут они, к своему ужасу, обнаружили, что логика в математике совсем не так уж и тверда, как думали их предшественники.

По существу развитие математики имело алогичный характер. Это алогичное развитие включало в себя не только неверные доказательства, но и пропуски в доказательствах и случайные ошибки, которых можно было бы избежать, если бы математики действовали бы более осмотрительно. Такие досадные изъяны отнюдь не были редки. Но алогичность развития математики заключалась также в неадекватном толковании понятий, в несоблюдении всех необходимых правил логики, в неполноте и недостаточной строгости доказательств. Иными словами, чисто логические соображения подменялись интуитивными аргументами, заимствованными из физики, апелляциями к наглядности и ссылками на чертежи.

Но и когда всё это было установлено, математика по-прежнему оставалась эффективным средством описания природы. Кроме того, математика сохранила привлекательность и сама по себе как область чистого знания, и в умах многих, особенно пифагорейцев, являлась частью реальности, представляющей самостоятельный интерес. Учитывая это, математики решили восполнить пробел в логическом каркасе своей науки и перестроить заново те её части, в которых обнаружились изъяны. Движение за математическую строгость приобрело широкий размах во второй половине XIX в.

К началу XX в. математики стали склоняться к мнению, что желанная цель, наконец, достигнута. И хотя им пришлось признать, что математика даёт лишь приближённое описание природы, и многие утратили веру в то, что природа основана на математических принципах, математики по-прежнему продолжали возлагать большие надежды на проводимую ими реконструкцию логической структуры математики. Но не успели смолкнуть восторги по поводу якобы достигнутых успехов, как в реконструированной математике в свою очередь обнаружились противоречия. Обычно эти противоречия принято называть парадоксами – эвфемизм, позволяющий тем, кто его использует, обходить молчанием кардинальное обстоятельство: там, где есть противоречия, там нет логики.