Чтение онлайн

Ведущие математики и философы начала XX в. сразу же попытались разрешить возникшие противоречия. В результате возникло четыре подхода к математике, которые отчётливо сформулированы и получили значительное развитие; у каждого из этих подходов нашлось немало приверженцев. Все четыре направления стремились не только разрешить известные противоречия, но и гарантировать, что в будущем не появятся новые противоречия, то есть, старались доказать непротиворечивость математики. Интенсивная разработка оснований математики привела к другим результатам. Приемлемость некоторых аксиом и принципов логики дедуктивного вывода также стала яблоком раздора: позиции школ по этим вопросам разошлись.

В конце 30-х годов XX в. математик мог бы принять один из нескольких вариантов оснований математики и заявить, что проводимые им математические доказательства, по крайней мере, согласуются с догматами избранной им школы. Но тут последовал удар ужасающей силы: вышла в свет работа Курта Гёделя, в которой он, среди прочих важных и значительных результатов, доказал, что логические принципы, принятые различными школами в основаниях математики, не позволяют доказать её непротиворечивость. Как показал Гёдель, непротиворечивость математики невозможно доказать, не затрагивая самих логических принципов, замкнутость которых весьма сомнительна. Теорема Гёделя вызвала смятение в рядах математиков. Последующее развитие событий привело к новым осложнениям. Оказалось, например, что даже аксиоматический дедуктивный метод, столь высоко ценимый в прошлом как надёжный путь к точному знанию, небезупречен. В результате этих открытий число различных подходов к математике приумножилось, и математики разбились на ещё большее число группировок.

В настоящий момент положение дел в математике можно обрисовать примерно так. Существует не одна, а много математик, и каждая из них, по ряду причин, не удовлетворяет математиков, принадлежащих к другим школам. Стало ясно, что представление о своде общепринятых, незыблемых истин – величественной математике начала XIX в., гордости человека – не более чем заблуждение. На смену уверенности и благодушию, царившему в прошлом, пришли неуверенность и сомнения в будущем математики. Разногласия по поводу оснований самой «незыблемой» из наук вызвали удивления и разочарование (чтобы не сказать больше). Нынешнее состояние математики – не более чем жалкая пародия на математику прошлого с её глубоко укоренившейся и широко известной репутацией безупречного идеала истинности и логического совершенства.

Как думают некоторые математики, расхождения во мнениях относительно того, что следует считать настоящей математикой, когда-нибудь будут преодолены. Особое место среди тех, кто так считает, занимает группа ведущих французских математиков, пишущих под коллективным псевдонимом Никола Бурбаки8:

«С древнейших времён критические пересмотры оснований математики в целом или любого из её разделов почти неизменно сменялись периодами неуверенности, когда возникали противоречия, которые приходилось решать… Но вот уже двадцать пять веков математики имеют обыкновение исправлять свои ошибки и видеть в этом обогащение, а не обеднение науки; это даёт им право смотреть в будущее спокойно»

Но гораздо больше математиков настроено пессимистически. Один из величайших математиков XX в. Герман Вейль сказал в 1944 г.:

«Вопрос об основаниях математики и о том, что представляет собой, в конечном счёте, математика, остаётся открытым. Мы не знаем какого-то направления, которое позволит, в конце концов, найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что подобный «окончательный» ответ будет когда-нибудь получен и признан всеми математиками. «Математизирование» может остаться одним из проявлений творческой деятельности человека, подобно музицированию или литературному творчеству, ярким и самобытным, но прогнозирование его исторических судеб не поддаётся рационализации и не может быть объективным»

Говоря словами Гёте, «история науки – сама наука».

Разногласия по поводу того, что такое настоящая математика, и существование многочисленных вариантов оснований математики не только серьёзно сказались на самой математике, но и оказали самое непосредственное влияние на физику. Как мы увидим далее, наиболее развитые физические теории ныне полностью «математизированы». (Разумеется, выводы таких теорий интерпретируются посредством так или иначе наблюдаемых «чувственных», подлинно физических объектов: сидя у радиоприёмников, мы слышим реальные голоса, чему не мешает отсутствие представления о том, что такое радиоволны.) Поэтому учёных – даже тех, кто не работает непосредственно над решением фундаментальных проблем, – не может не занимать вопрос о судьбах математики, которую они могут применять с уверенностью, не рискуя затратить годы на изыскания, некорректные в силу сомнительности использования математического аппарата.

Утрата критериев абсолютности истины, всё возрастающая сложность математики и естественных наук, неуверенность в выборе правильного подхода к математике привели к тому, что большинство математиков оставили вопросы оснований. С проклятием «Чума на оба ваших дома!» они обратились к тем областям математики, где методы доказательства казались им надёжными. Они нашли также, что проблемы, придуманные человеком, более привлекательны и легче поддаются решению, чем проблемы, поставленные природой.

Кризис математики и порождённые им конфликты по поводу того, что такое настоящая математика, отрицательно сказались и на применении математической методологии ко многим областям культуры: к философии, социальным и политическим наукам, этике и эстетике. Надежда на то, что удастся найти объективные, непреходящие законы и эталонные образцы знания, развеялась. «Век разума» закончился.

Несмотря на неудовлетворительное состояние математики, многочисленные существенно различные подходы, разногласия по поводу приемлемости аксиом и опасности возникновения новых противоречий, могущих подорвать значительную часть математической науки, многие математики продолжают применять математику для описания физических явлений и даже расширяют сферу её применимости на экономику, биологию и социологию. Безотказная эффективность математики подсказывает две темы для обсуждения. Во-первых, такая эффективность может рассматриваться как критерий правильности. Разумеется, подобный критерий имеет временный характер: то, что сегодня считается правильным, в дальнейшем может оказаться неверным.

Вторая тема ставит нас перед загадкой: почему математика вообще эффективна, если вопрос о том, что такое математика, вызывает столько споров9? Не творим ли мы чудеса, пользуясь при этом несовершенными средствами. Пусть человек заблуждается, но разве может и природа также заблуждаться до такой степени, чтобы поддаться математическому диктату человека? Безусловно, нет. А как быть с успешными полётами на Луну, исследованиями Марса и Юпитера, ставшими возможными благодаря технике, существенно зависящей от математики: разве они не подтверждают математические теории космоса? Как же можно в таком случае говорить об искусственности и неединственности математики? Может ли тело продолжать жить, если разум и дух помутились? Может! И это относится и к человеку, и к математике. Итак, нам надлежит выяснить, почему, несмотря на столь шаткие основания и взаимоисключающие теории, математика оказалась столь непостижимо эффективной.

Блеск и нищета сионизма. Впрочем, во всяком случае, по мнению автора, М. Клайн поставленную перед собой проблему не только решил, но даже и не пытался её хоть как-то прояснить. И нам придётся выполнить за него такую работу.

Трещина в фундаменте. Но нельзя, однако, сказать, что М. Клайн вообще ничего не сделал. В частности, он произвёл достаточное число обобщений печального положения дел в ортодоксальной науке.

Разумеется, на фоне того, что «математика оказалась столь непостижимо эффективной» они представляются не просто печальным, а просто катастрофичным фактом. И никто уже не может отрицать, что «развитие оснований математики с начала XXв. протекает поистине драматически, и современное состояние математики по-прежнему весьма плачевно, что вряд ли можно считать нормальным»10.

Представители современной науки вынуждены признавать, что «свет истины более не освещает нам путь, по которому следовало двигаться»11. К их великому огорчению, «вместо единой, вызывающей общее восхищение и одинаково приемлемой для всех математической науки, доказательства которой считались наивысшим достижением здравого смысла, хотя порой и нуждались в коррекции, мы теперь имеем различные конфликтующие между собой подходы к математике»12.