Чтение онлайн

Уравнение, которое нам нужно использовать при обсуждении вероятности, следующее:

Это одно из самых важных уравнений в науке. Вполне возможно, оно даже более полезно, чем F = ma или E = mc2. Однако, в отличие от уравнения Ньютона для второго закона движения или уравнения Эйнштейна, показывающего эквивалентность массы и энергии, это уравнение — несмотря на свою важность — как правило, неизвестно широкой аудитории. Даже некоторые ученые не до конца понимают формулу или применяют ее правильно, и тем не менее подход к вероятности, воплощенный в формуле, незаменим[360] во всех отраслях экспериментальной науки и в медицине, технике, бизнесе, военном деле… действительно, в любой области, где приходится принимать решения на основе неполных знаний. Люди сидят в тюрьме прямо сейчас, потому что судьи и адвокаты не смогли понять это уравнение; люди умирали от рака, потому что их врачи не смогли правильно применить вероятностное мышление; эта формула имеет значение.

Формула выше является наиболее распространенным представлением теоремы Байеса, математического труда, названного в честь английского священника Томаса Байеса,[361] который записал конкретное утверждение более общей теоремы в эссе, опубликованном после его смерти в 1761 году. Формула позволяет рассчитать P(H|E), так называемую апостериорную вероятность гипотезы при наличии некоторых доказательств. Чтобы рассчитать эту вероятность, вам нужно знать или уметь оценить априорную вероятность P(H), правдоподобие P(E|H) и вероятность свидетельства P(E). Прежде чем я обсужу, какое отношение эта формула имеет к парадоксу Ферми (или, вернее, как оказалось, какое она не имеет отношения к парадоксу Ферми), мне нужно немного подробнее объяснить теорему Байеса. Если вы уже понимаете, что преподобный Байес сказал о вероятности, то смело пропустите следующие пару страниц.

Давайте рассмотрим пример рассуждений в стиле Байеса в научно-фантастическом контексте. Предположим, правительственные агенты раскрыли заговор инопланетян с целью захвата мира: инопланетные оборотни, которые могут принимать облик мужчины или женщины, смешиваются с населением. Их пока не так много — у агентов есть веские основания полагать, что только 1% населения на самом деле являются замаскированными инопланетянами. Существует приложение для определения, является ли данный человек инопланетянином, и оно эффективно: 80% инопланетян будут правильно показаны как обладающие инопланетной ДНК. Но тест не идеален: 9,6% людей ложно окажутся инопланетными самозванцами. Агент использует приложение на случайном прохожем, и приложение показывает положительный результат. Учитывая этот сценарий, какова вероятность того, что прохожий действительно инопланетянин?

Прежде чем читать дальше, подумайте над сценарием и сделайте оценку вероятности.

Если вы оценили вероятность в пределах 70%–80%, вы в хорошей компании. Исследование за исследованием показывает, что[362] когда врачам дают эту задачу (заменив язык рака груди и маммографии на язык инопланетян и приложений для обнаружения оборотней), примерно 6 из 7 из них дают оценку в диапазоне 70%–80%. Правильный ответ — 7,76%. Другими словами, даже несмотря на то, что точность теста составляет 80%, положительный результат теста означает лишь 7,76% вероятность того, что человек является инопланетянином (или болен раком груди, если проблема сформулирована на этом языке). Если вы хотите увидеть, как складываются числа, в рамке ниже применяется формула Байеса с числами, приведенными в сценарии.

Байес и проблема оборотней Мы хотим знать P(H|E) — вероятность того, что гипотеза об инопланетном оборотне верна, учитывая свидетельство положительного результата теста. Нам дана вероятность P(E|H) — вероятность получения положительного теста, если человек является инопланетянином, что в данном случае составляет 80%. Байес говорит нам, что мы также должны учесть P(H), то есть вероятность того, что случайно выбранный человек является инопланетянином — в данном случае 1%. Кроме того, нам также необходимо учесть P(E), то есть вероятность получения любого положительного теста — либо истинно положительного, либо ложноположительного. В данном случае вероятность истинно положительного результата составляет 1% x 80% или 0,008. Вероятность ложноположительного результата составляет 99% x 9,6% или 0,09504.

Таким образом, P(E) равна 0,008 + 0,09504 или 0,10304. Подставьте эти числа в формулу Байеса, и вы обнаружите, что P(H|E)=7,76%.

Почему так много людей ошибаются в решении подобных задач? Основная причина, по-видимому, заключается в том, что они мысленно заменяют вопрос («какова вероятность того, что человек является инопланетянином, если у него положительный тест») данной информацией («какова вероятность того, что инопланетянин даст положительный результат теста»). Одно из ключевых преимуществ теоремы Байеса, помимо того, что это правильный подход к рассуждениям, заключается в том, что она напоминает нам о необходимости учитывать всю релевантную информацию при расчете вероятностей. Байес заставляет нас быть честными.

Еще один пример того, как Байес может помочь разобраться в вероятностях и подсказать, как нам нужно пересматривать наши оценки в свете меняющейся информации, — это печально известная проблема Монти Холла.[363] Задача была вдохновлена американским телевизионным игровым шоу под названием «Давай заключим сделку», которое шло с 1963 по 1976 год. Ведущим шоу был Монти Холл.

Монти показывает вам три закрытые двери, за одной из которых находится блестящий новый Bugatti Veyron Grand Sport Vitesse; за двумя другими дверями прячутся лимоны. Вам предоставляется возможность выбрать одну из дверей и выиграть то, что находится за ней. Очевидно, если вы не очень любите лимоны, вы захотите выиграть Bugatti. Вы выбираете дверь. Монти, который знает, что находится за каждой из дверей, затем открывает одну из оставшихся дверей и показывает лимон. Затем он предлагает вам выбор: вы можете либо остаться при своем первоначальном выборе, либо выбрать другую неоткрытую дверь. Следует ли вам переключиться или остаться при своем первоначальном выборе? Имеет ли значение, переключитесь ли вы?

Как и в случае с проблемой оборотней выше, подумайте над сценарием и примите решение, прежде чем читать дальше. Когда я впервые услышал этот вопрос, моей реакцией[364] было то, что не может иметь значения, останетесь вы или переключитесь. Машина с равной вероятностью может находиться за любой из дверей, так что мой шанс на выигрыш будет 50:50. С таким же успехом можно остаться. Оказывается, у вас в два раза больше шансов выиграть, если вы смените дверь. Если вы хотите увидеть, как байесовский подход приводит к правильному ответу и как он демонстрирует, что мы должны изменять свои выводы, когда меняется наша информация, смотрите рамку ниже.

Байес и проблема Монти Холла. Давайте обозначим три двери A, B и C и пусть эти буквы обозначают событие, что Bugatti находится за этими дверями. Неважно, какую дверь вы выберете, но предположим, что вы выбираете A. Поскольку Монти не откроет дверь, за которой находится Bugatti, то, если машина находится за дверью A, Монти случайным образом выберет дверь B или дверь C.

Априорные вероятности легко понять, потому что в начале игры вы можете быть одинаково уверены в том, что Bugatti находится за любой из трех дверей:

P(A) = P(B) = P(C) = 1/3 .

Теперь давайте посмотрим на правдоподобие. Вы должны быть в состоянии понять, почему вероятности принимают такие значения.

Вероятность того, что Монти откроет дверь B, если приз находится за дверью A, равна:

P(Монти открывает B|A)= 1/2 .

Вероятность того, что Монти откроет дверь B, если приз находится за дверью B, равна:

P(Монти открывает B|B)=0.

Вероятность того, что Монти откроет дверь B, если приз находится за дверью C, равна:

P(Монти открывает B|C)=1.

Теперь мы можем рассчитать вероятность того, что Монти откроет дверь B:

P(A) x P(Монти открывает B|A) + P(B) x P(Монти открывает B|B) + P(C) x P(Монти открывает B|C) = 1/6 + 0 + 1/3 = 1/2 .

Наконец, примените теорему Байеса: