Чтение онлайн

ГЛАВА VIII

ПАРАДОКСАЛЬНЫЕ СЛУЧАИ ИНТУИЦИИ

Если у некоторых умов, исключительно интуитивных, идеи могут рождаться и комбинироваться в ещё более глубоких слоях бессознательного, как мы только что рассмотрели, то возможно, что даже очень важные звенья дедукции могут оставаться неизвестными даже самому автору. История науки даёт несколько замечательных примеров этого.

Ферма (1601–1665). Пьер Ферма был магистром, советником тулузского парламента. В то время жизнь была менее сложной, чем сейчас, и его служебные обязанности, вероятно, не были ему помехой в его весьма значительных математических исследованиях. Кроме участия в первом этапе построения исчисления бесконечно малых и даже в создании теории вероятностей, он активно занимался вопросами теории чисел. Среди трудов древних математиков, которыми он располагал, был перевод Диофанта, греческого учёного, который занимался арифметическими вопросами. После смерти Ферма в его экземпляре Диофанта нашли на полях следующее замечание (по латыни):

«Я доказал, что соотношение xm + ym = zm невозможно в целых числах (x, y, z отличны от нуля, m больше чем 2). Но на полях недостаточно места, чтобы записать доказательство»[114].

Три века прошло с тех пор, и всё ещё ищут доказательство, которое Ферма мог бы написать на полях, если бы они были больше. Тем не менее кажется, что Ферма не ошибся, так как частные доказательства для некоторых обширных классов значений показателя m найдены; например, для всех m, меньших ста, доказательство нашли[115]. Но огромная работа, которая сделала возможным получение этих частных результатов, не могла быть произведена путём прямых математических pacсуждений[116]: эта работа требовала применения нескольких важных алгебраических теорий, которые были совершенно неизвестны в эпоху Ферма, и никаких намёков на которые нет в записях Ферма. После того как в течение XVIII и начала XIX века были установлены некоторые основные положения алгебры, немецкий математик Куммер, чтобы приступить к проблеме «последней теоремы Ферма», должен был ввести новое и смелое понятие «идеала» — грандиозная идея, которая полностью революционизировала алгебру. Но, как мы только что сказали, даже это мощное орудие математической мысли дало до сих пор лишь частные случаи доказательства этой таинственной теоремы.

Риман (1826–1866). Бернгард Риман, огромную интуитивную способность которого мы уже отмечали, существенно обновил наши знания о распределении простых чисел, также одного из наиболее таинственных вопросов математики[117]. Он научил нас получать результаты в этом направлении, пользуясь методами интегрального исчисления, точнее, изучая некоторую величину, являющуюся функцией переменной S, которая может принимать действительные или мнимые значения. Он доказал некоторые важные свойства этой функции, но два или три важных свойства он указал не приводя доказательства. После смерти Римана в его бумагах нашли запись, в которой говорилось: «Эти свойства ?(S) (функции, о которой идёт речь) выводятся из одного из её выражений, которое я не сумел достаточно упростить, чтобы опубликовать».

Мы и сейчас не имеем ни малейшего понятия о том, что могло бы представлять собой это выражение! Что же касается свойств, простой формулировкой которых он ограничился, то мне потребовалось десятка три лет, чтобы я смог их доказать — все, кроме одного. Что касается этого последнего свойства, то оно до сих пор остаётся недоказанным, хотя благодаря огромной работе, проделанной за последние полвека, получено несколько очень интересных результатов в этом направлении. Кажется всё более и более вероятным — но ещё никоим образом не достоверным — что гипотеза Римана верна. Естественно, все эти дополнения к трудам Римана могли быть сделаны лишь благодаря фактам, которые в его время были абсолютно неизвестны; что же касается одного из свойств, которое он сформулировал, то почти невозможно понять, как он мог его открыть, не используя частично этих общих принципов, хотя он не упоминает о них в своём мемуаре[118].

Галуа (1811–1831). Одной из наиболее поразительных была личность Эвариста Галуа, чья трагическая жизнь, оборвавшаяся в ранней юности, дала науке один из наиболее важных памятников, которые мы знаем. Страстная натура Галуа была покорена математикой с тех пор, как он познакомился с «Геометрией» Лежандра. Но им неистово владело другое чувство, чувство восторженной преданности республиканским и освободительным идеям, за которые он страстно и порою весьма неосторожно боролся. Однако смерть настигла его в возрасте двадцати лет не в ходе этой борьбы, а на бессмысленной дуэли[119].

Галуа провёл ночь перед дуэлью, проверяя заметки о своих открытиях. Это были: рукопись, которую отклонила Академия наук как непонятную (не нужно удивляться, что столь высоко интуитивные умы высказываются очень «темно»); затем письмо другу, с короткими поспешными замечаниями о других прекрасных идеях, с многократным повторением на полях одних и тех же слов «У меня нет времени». Действительно, оставалось четыре часа до того, как он ушёл туда, где его ждала смерть.

Все его глубокие идеи были сначала забыты, и лишь через пятнадцать лет учёные с восхищением обратили внимание на мемуар, который отклонила Академия. В этом мемуаре содержится полное преобразование высшей алгебры, и он проливает яркий свет на то, о чём до тех пор лишь догадывались наиболее крупные математики, одновременно связывая алгебраическую проблему с другими проблемами из совсем иных отраслей науки.

Но в связи с тем, что непосредственно касается нашей темы, рассмотрим отрывок из письма, написанного Галуа его другу, где он формулирует теорему о «периодах» некоторого класса интегралов. Эта теорема, ясная для нас, не могла быть понята учёными, жившими в эпоху Галуа: эти «периоды» не имели смысла при состоянии науки того времени; они приобрели смысл лишь благодаря некоторым принципам теории функций, теперь классическим, но открытым четверть века спустя после смерти Галуа. Итак, нужно допустить: 1) что Галуа должен был каким-то образом составить себе представление об этих принципах; 2) что они должны были остаться для него неосознанными, так как на них у него нет и намёка, хотя они сами по себе составляют важное открытие.

Случай Галуа заслуживает внимания в связи с подчёркнутым нами выше различием. С некоторой точки зрения он нам напоминает Эрмита. Как и Эрмит, Галуа является глубоким аналитиком, хотя и стал энтузиастом науки благодаря курсу геометрии Лежандра. Один из его первых опытов (когда он ещё был на лицейской скамье) носил геометрический характер, но он остался единственным. Любопытная вещь: преподаватель математики в лицее у Галуа, г-н Ришар (заслугой которого является то, что он сразу же открыл необыкновенные способности Галуа), через пятнадцать лет стал преподавателем Эрмита; но это надо рассматривать как простое совпадение, так как очевидно, что гений таких людей является даром природы, независимо ни от какого образования.

С другой стороны, Галуа, который был очевидным представителем интуитивных умов по нашему определению (А), не кажется таковым по определению (Б). В доказательстве общей теоремы, которая содержит окончательное решение основной проблемы алгебры, нет следа «рассеянных идей», нет комбинаций разнородных по внешности принципов; его мысль, так сказать, интенсивна, но не экстенсивна. И я склоняюсь к тому, чтобы это же сказать об открытиях, содержащихся в его последнем письме (написанном в ночь перед его роковой дуэлью), хотя течение его мыслей не могло проявиться так же отчётливо в этой серии лишь кратко высказанных результатов. Это не исключает возможности случайной связи между аспектами (А) и (Б) интуиции; но в случае Галуа эти аспекты кажутся независимыми друг от друга.

Вместе с тем ясно, что Галуа глубоко отличается от Эрмита, чьё открытие квадратичных форм — типичный пример «мышления около».

Случай в работе Пуанкаре. Кажется, никто не заметил, что нечто аналогичное есть в труде Пуанкаре «Новые методы небесной механики». В III томе (стр. 261) он говорит о вариационном исчислении и использует достаточное условие для минимума, эквивалентное условию, вытекающему из метода Вейерштрасса (о котором мы говорили на стр. 105). Но он не даёт доказательства этого условия: он говорит о нём как об известном факте. Как мы указывали, метод Вейерштрасса не был опубликован к моменту, когда был написан этот том «Новых методов». Более того, у Пуанкаре нет никакого намёка на открытие Вейерштрасса, что он должен был сделать, если бы получил частным образом хоть какие-либо сведения. И особо нужно прибавить, что условие высказано в форме, несколько отличной (хотя в основном эквивалентной) от той, которая классическим образом вытекает из метода Вейерштрасса. Должны ли мы считать, что рассуждение Вейерштрасса — или другое, ему аналогичное — было открыто Пуанкаре, но осталось совершенно им не осознанным?[120]

Исторические сравнения

В подобных случаях приходится признать, что некоторые части умственного процесса развиваются в столь глубоких слоях бессознательного, что от нашего сознания остаются скрытыми элементы, которые могут быть даже очень важными. Здесь мы вновь подходим к явлению раздвоения личности в том смысле, как его рассматривали психологи XIX века.

История даёт нам даже примеры как бы посредников между этими двумя типами явлений. Сократ был уверен, что его идеи были ему продиктованы его личным демоном, и Нума Помпилий часто консультировался у нимфы по имени Эгерия.