Чтение онлайн

«Отнюдь не обсуждаемый ими вопрос заставляет их использовать тот или другой метод. Если часто об одних говорят, что они аналитики, а других называют геометрами, то это не мешает тому, что первые остаются аналитиками, даже когда занимаются вопросами геометрии, в то время как другие являются геометрами, даже если занимаются чистым анализом. Сама природа их ума делает их «логиками» или «интуитивистами» и они не могут переродиться, когда принимаются за новую тему».

Что мы должны думать, сравнивая два абзаца? Дважды было подчёркнуто различие между интуицией и логикой, но на совершенно различных, хотя и имеющих друг к другу некоторое отношение, основаниях.

Это становится ещё более очевидным при рассмотрении примеров, данных Пуанкаре. Жозефу Бертрану, который совершенно очевидно имеет конкретные пространственные представления по всем вопросам, он противопоставляет Эрмита, чьи глаза «кажутся лишёнными контакта с миром» и который ищет «видение истины изнутри, а не снаружи» (там же).

Конечно, Эрмит не имел привычки думать конкретно. Он испытывал своего рода ненависть к геометрии и однажды, как ни странно, упрекнул меня в том, что я опубликовал мемуар по геометрии. Естественно, его собственные работы по конкретным вопросам редки и не относятся к числу его самых замечательных. Таким образом, в соответствии со вторым заявлением Пуанкаре Эрмит должен рассматриваться как математик с логическим складом ума.

Но считать Эрмита логиком! Ничто не может мне казаться менее правдоподобным. Казалось, что методы всегда рождались в его уме каким-то таинственным образом. На его лекциях в Сорбонне — которые мы слушали с неизменным восторгом — он любил начинать свои рассуждения словами: «Начнём с тождества…»; затем он писал формулу, точность которой можно было гарантировать, но ни происхождения которой, ни метода открытия он не объяснял — и мы не могли о них догадаться. Это качество его ума отчётливо проявилось при открытии им знаменитых квадратичных форм; в этом вопросе возможны два случая и очевидно, что их свойства совершенно различны. В первом случае «приведение» было известно со времён Гаусса. Казалось, что никому не могло прийти в голову применить ко второму случаю выкладки, используемые в первом, так как они, видимо, не имели с ним ничего общего; казалось совершенно абсурдным, что они могут и в этом случае привести к решению; и тем не менее, посредством своего рода колдовства, они к нему привели. Механизм этого исключительного явления был несколькими годами позднее частично объяснён с помощью геометрической интерпретации (данной, естественно, не Эрмитом, а Клейном); но для меня она стала совершенно ясной лишь после того, как я познакомился с соответствующей концепцией Пуанкаре, в одной из его первых заметок[110]. Я не могу себе представить более совершенного типа интуитивного ума, чем Эрмит. Итак, пример Эрмита неукоснительно показывает, что два определения интуиции и логики, данные Пуанкаре, не совпадают, по крайней мере не вполне совпадают, что в какой-то мере признал сам Пуанкаре именно в связи с примером Эрмита.

Двумя немецкими математиками, которых сравнивает Пуанкаре, являются Вейерштрасс и Риман. Несомненно, что, как заключает Пуанкаре, Риман — типичный интуитивист, а Вейерштрасс — типичный логик. Но по поводу этого последнего Пуанкаре замечает: «Можно просмотреть все его книги, и вы не найдёте в них ни одного чертежа». Здесь допущена одна фактическая ошибка[111]. Действительно, почти ни в одном из мемуаров Вейерштрасса нет чертежей; существует лишь одно исключение, но оно существует и находится в одном из его самых замечательных и наиболее сжатых произведений, которое производит наиболее яркое впечатление совершенства: я говорю о его фундаментальном методе в вариационном исчислении. Вейерштрасс там помещает один единственный чертёж[112] и, опираясь на него, всё дальнейшее выводит глубоко логическим методом, который является, несомненно, ему свойственным; так что достаточно каждому, кто хорошо знает математические методы, бросить взгляд на этот чертёж, чтобы восстановить весь ход рассуждений. Но для построения этой фигуры требовалась, естественно, начальная интуиция. Это было тем более трудным и гениальным актом, что требовалось порвать с общепринятыми методами, которые непрерывно приносили всё новые успехи со времён изобретения исчисления бесконечно малых; в частности, Лагранж успешно применил исчисление бесконечно малых для получения первой части решения, но больше никому не удавалось его правильно дополнить. Вейерштрасс показал, что для получения результата надо полностью отойти от традиционных методов и оперировать непосредственно.

Как видно, в действительности этот случай является ярким примером того общего факта, что логика идёт вслед за начальной интуицией.

Использование полученных нами результатов

Итак, мы вынуждены признать, что не существует единого определения интуиции, противоположной логике, но что их существует по крайней мере два. Чтобы разобраться в этом, почему бы не воспользоваться результатами нашего анализа этих явлений?

Резюмируем результаты этого анализа: вспомним, что всякая умственная работа, в частности, работа над открытием, влечёт за собой сотрудничество бессознательного или поверхностного или (достаточно часто) более или менее глубокого; что в этом бессознательном после предварительной сознательной работы происходит та вспышка идей, которую Пуанкаре сравнил с более или менее беспорядочным выбросом атомов, и что конкретные представления обычно используются умом для фиксации комбинаций и их синтеза.

Следствием этого является прежде всего то, что, говоря строго, практически не существует чисто логических открытий. Вмешательство бессознательного необходимо по крайней мере для того, чтобы стать отправным пунктом логической работы.

С этой оговоркой, мы немедленно замечаем, что процессы, аналогичные только что описанным, могут протекать различно в разного типа умах:

А) более или менее глубоко в бессознательном. Так как мы знаем, что в бессознательном должны существовать различные уровни, некоторые из которых находятся совсем близко к сознанию, а другие лежат более или менее глубоко, то ясно, что уровни, где встречаются и комбинируются идеи, могут быть либо глубокими, либо, напротив, поверхностными; поэтому есть основания считать, что с этой точки зрения каждый ум ведёт себя по-своему.

Совершенно естественно говорить об уме более интуитивном, когда зона комбинирования идей находится глубоко, и об уме логическом, если эта зона pacположена достаточно поверхностно. Такой способ рассматривать различие мне кажется наиболее соответствующим существу вопроса.

Если эта зона глубока, то результаты будет труднее довести до сведения сознания, и вероятно, что ум будет иметь тенденцию делать это лишь тогда, когда эта строго необходимо. Я охотно могу предположить, что таков был случай Эрмита, который никогда не опускал ни одного существенного элемента в результатах своих раздумий, так что его методы были вполне корректны и строги, но при этом не оставалось ни малейшего следа способа, который его к ним привёл.

Может произойти обратное: умы могут быть устроены таким образом, что идеи, выработанные в недрах бессознательного, тем не менее полностью доходят до сознания. Я мог бы охотно представить себе это в случае Пуанкаре, идеи которого, хотя и могли быть рождены достаточно глубокой интуицией, обычно казались проделавшими совершенно естественный путь. Как видно, можно казаться логиком при формулировке своих идей, но после того, как эти идеи были открыты путём интуиции[113].

Б) Мысль более или менее узко направленная: мы видели, что выброс атомов Пуанкаре — образование идей, говоря менее метафорическим языком — может быть более или менее рассеянным. Это ещё одно основание для того, чтобы у нас могло сложиться представление или об интуитивном уме (в случае, когда рассеивание велико), или об уме логическом (в противоположном случае); и это второе основание может, априори по крайней мере, не иметь никакого отношения к первому: угол, в котором заключена мысль, может быть различным, но независимо от того, насколько глубок слой бессознательного, в котором эта мысль развивается. Априори мы не знаем, есть ли связь между этими двумя видами «интуитивных тенденций», но один пример (пример Галуа, как мы увидим дальше) нам покажет, что они действительно независимы.

В) Различные вспомогательные представления: мы видели, как сильно различаются учёные по способу использования умственных образов или других конкретных представлений: эти различия могут касаться либо природы представлений, либо способа, которым они влияют на работу мозга. Ясно, что некоторые виды представлений могут дать мысли ход более логический, другие — ход более интуитивный. Но эта сторона вопроса является гораздо менее доступной для изучения именно потому, что явления не всегда сравнимы для различных умов.

Очень общим является использование образов, и они очень часто бывают геометрической природы. Было бы интересно иметь по таким вопросам самонаблюдения Эрмита, который всегда казался витающим вне конкретных представлений (в моём собственном случае, когда я думаю об аналитических вопросах, роль геометрических образов совершенно отлична от той, которую они играют, когда речь идёт о геометрических исследованиях).

Другие различия между математическими умами

Вопрос, который мы только что обсуждали, является единственным исследованным до сих пор вопросом, касающимся различных видов математических умов: естественно, нет никакого сомнения, что математики могут различаться и с других совершенно различных точек зрения.

Например, существует одна теория — теория групп, важность которой в нашей науке не переставала возрастать в течение более чем века, особенно после трудов Софуса Ли в конце XIX века. Некоторые математики, в частности некоторые современники, обогатили её блестящими открытиями. Другие — и я признаюсь, что принадлежу к их числу — будучи способны использовать её в простых приложениях, испытывают непреодолимые трудности при попытке познать эту теорию глубже. Было бы интересно открыть психологическую основу такого различия умов, различия, которое мне кажется несомненным.