Чтение онлайн

Что касается приложений, даже совершенно непредвиденных, то в дальнейшем они чаще всего появляются, если наше начальное чувство было верным. Я приведу несколько личных примеров, но прошу извинить это неоднократное обращение к моему личному опыту, о котором я, естественно, осведомлён лучше всего.

Когда я представил мою докторскую диссертацию на рассмотрение Эрмиту, он заметил, что было бы очень полезно найти приложения. В тот момент я не знал ни одного возможного приложения. Но в промежутке между днём, когда я подал рукопись, и днём, когда я защищал диссертацию, я узнал, что французский институт предложил в качестве конкурсной темы решить одну важную проблему (ту, о которой мы говорили на стр. 111 в связи с Риманом); и оказалось, что результаты моей диссертации дают решение этого вопроса. Я руководствовался лишь чувством интереса к проблеме, и оно меня вывело на правильный путь.

Несколькими годами позднее, снова занимаясь этими же вопросами, я получил один очень простой результат[122], который мне показался элегантным; я его сообщил моему другу, физику Дюгему; он меня спросил, каковы применения этого результата. Когда я ответил, что до сих пор не думал над этим, Дюгем, который был не только выдающимся физиком, но и замечательным художником, сравнил меня с живописцем, который начал рисовать пейзаж не выходя из мастерской, и который затем идёт на прогулку, чтобы открыть в природе пейзаж, соответствующий его картине. Это сравнение показалось мне верным, но в действительности я был прав, не заботясь о приложениях: они пришли позднее.

За несколько лет до этого (в 1893 г.) меня заинтересовал один алгебраический вопрос (об определителях). Решая его, я не подозревал, что он может быть как-то полезен, и удовлетворился лишь чувством, что он заслуживает интереса; а в 1900 г. появилась теория Фредгольма[123], для которой, как оказалось, результат полученный в 1893 г., был существенен.

Чрезвычайно удивительные, я бы даже сказал ошеломляющие, факты такого рода даёт нам поразительное развитие современной физики. В 1913 г. Эли Картан, один из первых французских математиков, стал размышлять в связи с теорией групп об одном замечательном классе аналитических и геометрических преобразований. Для специального рассмотрения этих преобразований в ту эпоху не было никакого основания, кроме их эстетических свойств. А через пятнадцать лет физики открыли опытным путём удивительные явления, связанные с электронами, и они смогли их понять лишь благодаря идеям Картана 1913 года.

Но нельзя привести более типичный пример в этом смысле, чем современный функциональный анализ. Когда Иоганн Бернулли искал в XVIII веке[124], какова должна быть форма кривой, падая вдоль которой небольшое весомое тело проходит расстояние за минимальный промежуток времени, он был привлечён красотой этой проблемы, столь отличной от всего, что рассматривалось до тех пор, хотя и представлявшей явную аналогию с проблемами, которые уже рассматривались в исчислении бесконечно малых. Им могла руководить лишь эта красота. Нельзя было и подозревать в его время, что впоследствии вариационное исчисление — т. е. теория проблем такого вида — поможет усовершенствовать механику в конце XVIII и в начале XIX века.

Ещё более удивительным оказалась судьба того обобщения этой первоначальной концепции, которое было развито в конце XIX века, главным образом под мощным влиянием Вольтерра. Почему этот крупный итальянский геометр стал оперировать с функциями так, как в исчислении бесконечно малых оперируют с числами, т. е. рассматривая функцию как непрерывно меняющийся элемент? Только потому, что он отдавал себе отчёт в том, что этот метод должен был гармонично дополнить структуру математического здания, точно так же, как архитектор видит, что здание будет лучше уравновешено, если прибавить к нему одно крыло. Уже тогда можно было представить себе (как мы объясняли в гл. III), что гармоничное творение такого типа может помочь решать такие связанные с функциями проблемы, которые раньше рассматривались лишь с одной точки зрения; но то, что эти «функционалы», как назвали это новое понятие, могут быть непосредственно связаны с действительностью, нельзя было считать ничем иным, как нелепостью. Функционалы казались математическим понятием, существенно и полностью абстрактным.

И вот, произошла именно нелепость: столь мало понятное и трудно постижимое новое понятие, каким оно могло казаться современным физикам, с которым умеют обращаться только студенты, уже свободно владеющие математическим анализом, оказалось абсолютно незаменимым, чтобы математически представить любое физическое явление (согласно недавней теории «волновой механики»). Каждую из доступных наблюдению величин — давление, скорость и т. д., — которую обычно определяли с помощью чисел, нельзя больше рассматривать как число — математически она представляется функционалом!

Эти примеры дают достаточно полный ответ на сомнение, выраженное Уолласом по поводу значения чувства красоты в качестве «двигателя» открытия. Наоборот, создаётся впечатление, что у нас в математике это чувство является чуть ли не единственно полезным.

Мы ещё раз видим, что выбор направления мысли включает в себя эмоциональные элементы, и последнее обязательно имеет место при непрерывности внимания, при той верности ума своей цели, о важности которой мы говорили в гл. IV.[125]

На этой стадии, как и для вдохновения, выбор руководствуется чувством красоты; но на этот раз мы обращаемся к нему сознательно, в то время как в области бессознательного это чувство работает, чтобы дать нам вдохновение.

Направление изобретательской работы и стремление к оригинальности

Могут ли другие причины влиять на выбор исследователем направления?

Один психоаналитик с полным основанием указал мне, что на исследовательскую работу часто могут оказывать влияние причины эмоционального характера (он мне привёл некоторые типичные примеры, взятые из жизни Фрейда). Однако шансов на то, что это относится к математике, меньше — ввиду абстрактного характера этой науки, где, употребляя знаменитое выражение Бертрана Рассела, «никогда не знают, о чём говорят, и верно ли то, что говорят».

Поднимался также вопрос, не могут ли исследователи руководствоваться менее похвальным видом страсти, проистекающим из человеческого тщеславия: желанием сделать что-нибудь оригинальное.

Мне кажется, что в искусстве или в литературе подобная вещь возможна. Или, точнее, оставляя в стороне вопрос о тщеславии, отметим, что оригинальность является одним из тех требований, которое должен предъявлять к себе каждый артист или писатель. Само собой разумеется, это замечание не относится к действительно великим творцам. Например, как видно из письма Моцарта, ему не нужно было думать о том, чтобы быть оригинальным. Но не отразилась ли эта необходимость на формировании некоторых школ живописи? Или на произведениях, в которых некоторые писатели пытались парадоксальным образом изобразить поступки или психологию известных личностей? Такой вопрос можно поставить.

Возможно, что есть какая-то связь между подобными случаями и теми хорошо известными случаями, когда поэты (или другие художники) создавали произведения, находясь в анормальном состоянии (например, Колридж в состоянии сна, вызванного опиумом). Уоллас[126], который рассказывает о таких примерах, считает, что лёгкая «диссоциация духа» может быть полезной художнику, «который желает порвать со своими собственными привычками мыслить и видеть, и с традициями своей школы». Не составляет особого исключения то, что как можно слышать, поэтические произведения создаются во время сна, тогда как мы видели, что это редкое, если не вообще малоправдоподобное, явление для математического творчества.

В случае математика, который, как мы говорили вначале, является служителем, а не хозяином, положение действительно иное. Каждый результат, каждое решение, которое становится ему известным, ставит перед ним новые проблемы. И действительно, мне трудно было бы привести больше чем две или три работы, которые я назвал бы скорее странными, чем действительно оригинальными.

Тем не менее, учёный может оказаться в затруднительном положении, приступая к изучению той или иной проблемы, не потому, что он знает, что она была решена, а наоборот, потому, что он не знает, решена ли она, что сделало бы его работу бесполезной; или — и это более бескорыстно с его стороны — естественно, что его внимание может привлечь вопрос (не лишённый сам по себе значения) просто потому, что им пренебрегали до сих пор. Так бывало часто со мной; я даже могу добавить, что, начав однажды работу над группой вопросов и заметив, что некоторые авторы избрали то же направление, я оставил эту тему и попытался найти что-нибудь другое. Физики мне говорили, что некоторые из корифеев современной физики не раз поступали таким же образом.