Избранные научные труды
Шрифт:
F
1
=
eE
BC
AC^3
=
eEp
(V^2t^2+p^2)3/2
=
m(t).
Уравнение движения электрона в направлении, перпендикулярном направлению движения частицы, имеет вид
d^2x
dt^2
+
n^2x
=
(t),
где n — частота, возбуждаемая рассматриваемой силой.
Решение этого уравнения, удовлетворяющее следующим условиям:
x=0 и
dx
dt
=0 при t=-,
представляется в виде1
x=
1
n
t
0
sin n(t-z)
(z)
dz
,
dx
dt
=
t
0
cos n(t-z)
(z)
dz
.
1 См.: Rayleigh. «Theory of Sound», I, 75. Для последующего анализа см. также J. Н. Jeans. «Kinetic Theory of Gases», 198.
Здесь предполагается, что электрон до соударения с частицей покоился. Если же предположить, что электроны в атоме до столкновения находились в движении, это приведёт к возникновению в формулах для x и dx/dt дополнительных членов, которые, однако, не войдут в выражение для среднего значения передаваемой энергии. (Заметим, что для справедливости приведённых расчётов необходимо, чтобы размеры орбит электронов были малы по сравнению с p; относительно выполнимости этого условия см. ниже, стр. 73.)
Для суммы кинетической энергии электрона в момент времени t и его потенциальной, энергии, связанной с его смещением относительно этого положения, мы имеем теперь
m
2
dx
dt
^2
+
mn^2
2
x^2
=
m
2
t
0
cos nz·(z)dz
^2
+
m
2
t
0
sin nz·(z)dz
^2
.
Для передаваемой электрону при соударении энергии, связанной с его движением, перпендикулярным направлению движения частицы, получаем, замечая, что в этом случае (z) — чётная функция аргумента,
Q
1
=
m
2
–
cos nz·(z)dz
^2
.
Подставляя сюда выражение для (z), имеем
Q
1
=
e^2
2m
E^2p^2
–
cos nz·dz
(V^2z^2+p^2)3/2
^2
,
или
Q
1
=
2e^2E^2
mV^2p^2
f^2
np
V
,
где функция
f(x)
=
1
2
–
cos xz
(z^2+1)3/2
dz
может быть представлена при всех значениях x в виде сходящегося ряда
f(x)
=
1-
1
1!2!
3
1·2
x
2
4
–
1
2!3!
3
1·2
+
5
2·3
x
2
6
…-
–
1
(n-1)!n!
3
1·2
+
5
2·3
+…
2n-1
(n-1)·n
x
2
2n
…+
+
2ln +2ln
x
2
– 1
x
2
2
+
1
1!2!
x
2
4
+
+
1
1!3!
x
2
6
+…+
1
(n-1)!n!
x
2
2n
+…
(= 0,5772 ... — постоянная Эйлера). Когда x велико, f(x) представляется асимптотическим рядом
f(x)
~
2
1/2
e
– x
x
1/2
1+
1·3
8x
–
1·3·5
2!
1
8x
^2
+
+
1·3·1·3·5
3!
1
8x
^3
– …+
(-1)
n+1
1·3·5…(2n-3)·1·3…(2n-1)
n!(8x)n
.
Для составляющей силы, действующей на электрон в направлении, параллельном направлению движения частицы, имеем (см. рис. 1 на стр. 68)
F
2
=
eE
AB
AC^3
=
eEVt
(V^2t^2+p^2)3/2
=
m(t)
.
Для энергии, передаваемой электрону при столкновении, получаем таким же образом, как и раньше (учитывая, что m(t) — нечётная функция t),
Q
2
=
m
2
–
sin nz
(z)
dz