Избранные научные труды
Шрифт:
2
.
Подставляя выражение для (z), находим
Q
2
=
e^2
2m
E^2V^2
–
z sin nz dz
(V^2z^2+p^2)3/2
,
или
Q
2
=
2e^2E^2
mV^2p^2
g^2
np
V
,
где
g(x)
=-
1
2
–
z sin xz
(z^2+1)3/2
dz
=
x
2
–
cos xz
(z^2+1)1/2
=
f'(x)
;
здесь f(x) имеет тот же смысл, что и раньше.
Энергия движения электрона в направлении, перпендикулярном направлению движения частицы, всегда меньше для связанного электрона, чем для свободного. Это соотношение, однако, не справедливо для движения электрона в направлении движения частицы.
Для полной энергии, переданной электрону при столкновении, получаем
Q
=
Q
1
+Q
2
=
2e^2E^2
mV^2p^2
·P
np
V
,
(2)
где P(x)=f^2(x)+g^2(x) равно 1 при x=0 и при больших x очень быстро убывает с ростом x. Заметим, что при x=0 P'(x)=0.
Рассмотрим теперь прохождение частицы через вещество. Пусть N —число атомов в единице объёма, и каждый атом содержит r электронов, частота собственных колебаний которых равна n. Пусть, далее, a константа, много большая , но малая по сравнению с V/n (см. стр. 67). Тогда для полной энергии dT, переданной электронам частицей, прошедшей путь dx, имеем
dT
=
Nr
a
0
Q
0
2p
dp
+
a
Q
2p
dp
dx
.
C помощью формул (1) и (2) получаем отсюда
dT
=
4e^2E^2Nr
mV^2
a
0
p dp
p^2+^2
+
a
1
p
P
np
V
dp
dx
.
Пренебрегая величинами порядка (/a)^2 (см. выше), имеем
dT
=
4e^2E^2Nr
mV^2
ln
a
+
an/V
1
z
P(z)
dz
dx
=
=
4e^2E^2Nr
mV^2
ln
a
–
ln
an
V
·
P
an
V
–
an/V
ln z
·
P'(z)
dz
dx
.
В соответствии с нашим предположением an/V очень мало. Поэтому мы можем положить P(an/V)=1 и в дальнейшем принять в качестве пределов интегрирования 0 и (так как P'(0)=0).
Полагая
0
ln z
·
P'(z)
dz
=
– ln k
,
мы получаем, таким образом,
dT
=
4e^2E^2Nr
mV^2
ln
V^3kMm
neE(M+m)
dx
.
Я подсчитал k с помощью приведённых выше формул для f(x) и получил, что
k=1,123
Если мы предположим, что r электронов в атомах имеют различные собственные частоты, которые мы обозначим соответственно через n1, n2, …, nr, то
dT
=
4e^2E^2N
mV^2
dx
r
s=1
ln
V^3kMm
nseE(M+m)
.
(3)
Так как dT означает уменьшение кинетической энергии частицы, т. е. величины 1/2 MV^2, имеем
dV
dx
=-
4e^2E^2N
mMV^3
r
s=1
ln
V^3kMm
nseE(M+m)
.
(4)
При выводе формулы (4) мы учитывали только взаимодействие частицы с электронами и не учитывали её взаимодействия с центральным зарядом атома. Однако, как показал Дарвин 1, влияние этого последнего взаимодействия пренебрежимо мало по сравнению с первым; этот вывод справедлив и в представленной здесь теории.
1 С. G. Darwin. Phil. Mag., 1912, 23, 907.
Формула (4) представляет уменьшение скорости движущейся заряженной частицы на единицу пути как функцию скорости частицы, числа электронов в атоме и их собственных частот. Если V очень велико, логарифмы в формуле (4) можно считать постоянными. При этом получим соотношение, связывающее скорость частицы V с расстоянием, которое она прошла в веществе. Обозначая скорость при x=0 через V0, имеем
V
4
0
–
V
4
x
=
ax
,
где
a
=
16e^2E^2N
mM
ln
V30kMm
nseE(M+m)
.
Это соотношение имеет ту же форму, что и выведенное Дж. Дж. Томсоном, и, как показано Уиддингтоном, приближённо выполняется в случае катодных лучей (см. стр. 63). Для больших скоростей, отвечающих более энергичным -лучам, зависимость V от x должна быть видоизменена с учётом быстрого возрастания массы частицы по мере приближения её скорости к скорости света (см. ниже, стр. 81).
В случае меньших скоростей частиц логарифмический член, входящий в соотношение между V и x, приводит к некоторому изменению этого соотношения, понижая степень V в правой части уравнения (5), что находится в соответствии с экспериментами по -лучам.
Если мы примем, что число электронов пропорционально атомному весу, а собственная частота электронов также возрастает с его ростом, то мы непосредственно увидим, что формула (4) описывает некоторые наиболее существенные особенности поглощения -лучей различными элементами. Она объясняет тот факт, что поглощение возрастает с увеличением атомного веса элементов (при одинаковом весе поглощающего вещества, отнесённого к единице поверхности — в см^2).1