Чтение онлайн

 Знакъ при умноженіи дробей всегда употреблялся такой: одна горизонтальная черта проводилась отъ числителя къ числителю, а другая отъ знаменателя къ знаменателю, и это служило хорошимъ знакомъ дйствія, такъ какъ этимъ обозначался порядокъ вычисленія.

Замчательно мсто у Магницкаго, въ которомъ онъ трактуетъ объ умноженіи простыхъ дробей. Здсь явственно вылилась вся нетребовательность по отношенію ко всякимъ выводамъ и объясненіямъ. Достаточно сообщить правило, а кром него что же еще надо? такъ, наврное, думаетъ Магницкій, и мы не можемъ отказать себ въ томъ, чтобы не привести отрывка изъ его ариметики. Стр. 54

Итакъ, въ ариметик дается только правило, безъ вывода, зато посл правила идетъ цлый рядъ примровъ, всего 60 номеровъ, съ отвтами, и предлагается заняться продлываніемъ этихъ примровъ, чтобы, такъ сказать, набить руку въ этомъ правил.

Преемники Магницкаго, т.-е. составители русскихъ учебниковъ XVIII и даже ХІХ в., не оказались счастливе его въ этомъ случа. Они тоже или не даютъ никакихъ объясненій умноженія дробей, или даютъ объясненія спутанныя и трудныя. Такъ, въ ариметик Адодурова (1740 г.) про умноженіе дробей объясняется на 29 страницахъ, при чемъ объясненіе дано очень растянутое, многословное и малоубдительное. У Румовскаго (1760 г.) передъ дробями расположены пропорціи, и умноженіе дробей выводится изъ общаго свойства пропорцій, именно, что произведеніе крайнихъ членовъ равно произведенію среднихъ членовъ. И сами пропорціи являются для учениковъ темнымъ мстомъ, а ужъ про выводъ изъ нихъ и говорить нечего, особенно когда он идутъ на буквахъ, какъ это видимъ у Румовскаго. Порядочное изложеніе встрчаемъ мы у Загорскаго (1806 г.), но уже у Павла Цвткова (1834 г.) опять тянется старая псня. «Какъ множится дробь на дробь?» спрашиваетъ онъ, и отвчаетъ:

Этимъ заканчивается § 34, и авторъ уже боле не желаетъ возвращаться къ подобному скучному вопросу, къ которому, вдобавокъ, никакъ еще не придумать подходящаго объясненія. И это въ то время, когда Цвтковъ для боле легкаго вопроса, для умноженія дроби на цлое, находитъ нужнымъ и возможнымъ дать толковое объясненіе.

Да, умноженіе на дробь и въ старину, и еще теперь является однимъ изъ самыхъ больныхъ мстъ начальной ариметики.

Дленіе. Дленіе дробей шло все время правильнымъ путемъ, безъ скачковъ и отклоненій въ сторону. Еще древніе египтяне вполн логично заключали, что дленіе обратно умноженію, и что поэтому его можно привести къ умноженію. По своей привычк къ основнымъ дробямъ, т.-е. съ числителемъ, равнымъ единиц, они и дленіе разсматривали съ точки зрнія этихъ дробей. Примръ: 2 : 1 1/3 1/4 . Здсь египтяне ставили вопросъ: на какое чиоло надо помножить выраженіе 1 1/3 1/4 , иначе сказать 1 + 1/3 + 1/4 , чтобы получить въ произведеніи 2? Для этого помножаемъ количество 1 1/3 1/4 на 2/3 1/3 1/61/12, и получаемъ 285/144; при этомъ отдльно помножается множимое число на 2/3 , на 1/3 , на 1/6 и на 1/12, съ такимъ расчетомъ, чтобы каждое слдующее произведеніе было вдвое меньше предыдущаго. Такъ какъ 285/144 отличается отъ даннаго числа 2 на 3/144, т.-е. на 1/721/144, то остается ршить вопросъ: на какое число надо умножить 1 1/3 1/4 , или 288/144, чтобы получить сперва 1/144? Очевидно, на 1/228. Чтобы получить 1/72, надо умножить на 1/114 Такимъ образомъ, посл довольно запутаннаго вычисленія получается итогъ: 2/3 1/3 1/61/121/1141/288, который и считался у египтянъ вполн нормальнымъ, какъ составленный изъ основныхъ дробей (дробь 2/3 у нихъ тоже признавалась основной, это единственная изъ дробей съ числителемъ 2, у нея даже былъ свой спеціальный знакъ).

Римскій способъ дленія дробей напоминаетъ собой римскій же способъ дленія цлыхъ чиселъ. Вотъ примръ Бернелинуса (въ XIII ст. по Р. X.). Раздлить 28 на 1 3/4 . Длится 28 не на 1 3/4 , а на 2, т.-е. длитель дополняется до цлаго числа, 28 : 2=14; теперь надо составить лишекъ или сдачу, которую слдуетъ возвратить длимому; такъ какъ на каждую часть взято лишняго по 1/4 , то на вс 14 частей пришлось З 1/2 , длимъ З 1/2 на 2, будетъ въ частномъ 1, въ остатк 1 1/2 ; сдачи возвратится 1/4 , всего составится въ длимомъ 1 3/4 ; длимъ это количество на 1 3/4 и получимъ въ частномъ 1; такимъ образомъ, весь искомый результатъ будетъ 14 + 1 + 1 = 16.

Неморарій, математикъ среднихъ вковъ, современникъ Бернелинуса, пользуется для дленія аналогіей съ умноженіемъ и даетъ слдующій искусственный пріемъ. Задано раздлить 2/3 на 4/5. Тогда числитель и знаменатель первой дроби увеличивается въ 4 x 5 разъ и затмъ примняется правило: числителя раздлить на числителя, а знаменателя на знаменателя, подобно тому, какъ въ умноженіи дробей множатся числитель на числителя и знаменатель на знаменателя.

Получается формула:

Леонардо Фибонначи, итальянскій математикъ XIII вка, совтовалъ приводить дроби къ одному знаменателю и потомъ уже длить, пользуясь аналогіей съ именованными числами, такъ какъ тамъ, обыкновенно, мры раздробляются въ одинаковое наименованіе, и затмъ полученныя числа длятся. Примръ у Фибонначи слдующій:

Въ XVI ст. по Р. X. на сцену вышло новое правило дленія дробей: надо длимое помножить на обращеннаго длителя. Примръ: 3/4 : 2/3 . Для ршенія его множимъ 3/4 на 3/2, получимъ 9/8, это и будетъ врнымъ отвтомъ. Въ объясненіе этого правила, равно какъ и всхъ другихъ, авторы учебниковъ входить не любили. Они только ограничивались тмъ, что приводили самое правило и потомъ нсколько примровъ съ ршеніемъ. Ученики же запоминали правило и практиковались въ примненіи его къ вычисленіямъ.

Знакомъ дленія до XVIII ст. являлись, обыкновенно, дв перекрещивающихся черты, которыя шли отъ числителя первой дроби къ знаменателю второй и отъ знаменателя первой къ числителю второй. Только съ развитіемъ алгебры, когда потребовался общій знакъ дленія и для цлыхъ чиселъ и для дробей, стали обозначать это дйствіе такъ же въ дробяхъ, какъ и въ цдыхъ числахъ, т.-е. двумя точками.

Приведемъ еще неболыпой интересный отрывокъ, который хорошо показываетъ, къ какимъ хитростямъ нужно было прибгать средневковымъ ученымъ, когда имъ давался трудный примръ съ дробями. Въ Зальцбургскомъ (Австрія) сборник, отноеящемся къ XVII вку[1], надо было вычислить земной радіусъ по окружности земли. Извстно, что окружность въ 31/7 раза больше своего радіуса, и поэтому, чтобы получить радіусъ земли, достаточно ея окружность раздлить на 22/7. Принимая окружность за 252000, составитель находитъ 7/22 этого числа, т.-е. умноженіемъ на 7/22 замняетъ дленіе на 22/7. Умноженіе же онъ ведетъ такъ. Сперва вычисляетъ 1/22 всего числа, получится 11454 1/2 , затмъ вычитаетъ эту величину изъ 252000, будетъ 240544 1/2 21/22. Треть этого числа и составитъ искомый отвтъ, т.-е. земной радіусъ, такъ какъ 21/22 : 3 = 7/22.

Древніе халдеи, образованность которыхъ исходитъ изъ глубины вковъ и позволяетъ прослдить свои пути дале, чмъ на 1000 лтъ до Р. X., издавна любили считать по копамъ, т.-е. группами по 60. Почему они остановились именно на этомъ числ,—теперь ршить, конечно, нелегко, но выборъ этотъ надо считать чрезвычайно удачнымъ, такъ какъ число 60 обладаетъ массой длителей и, слдов., рже приводитъ къ дробямъ, чмъ большинство другихъ чиселъ, и позволяетъ длать много упрощеній. Халдеи примняли шестидесятеричный счетъ везд: и въ торговыхъ длахъ, и въ научныхъ выкладкахъ, особенно же въ любимой своей наук, которая многимъ обязана ихъ трудамъ,—въ астрономіи. Привычка къ числу 60 сама собой перешла и на дроби, и вотъ у халдеевъ явились шестидесятеричныя дроби, т.-е. со знаменателемъ 60, 3600 = 60. 60, 216000 = 60. 60. 60. Эти дроби примнены были въ астрономіи къ дленію времени, такъ что часъ сталъ длиться на 60 равныхъ частей (минутъ), минута на 60 секундъ, секунда на 60 терцій и т. д. Вс простыя дроби халдеями обыкновенно приводились въ шестидесятыя доли и даже, напр., 2/3 они выражали не иначе, какъ черезъ 40/60.

Отъ халдеевъ шестидесятеричныя доли перешли къ индусамъ и арабамъ, и также къ грекамъ. Особенно он были разработаны греческими учеными, жившими въ Александріи въ первые вка по Р. X. Знаменитый астрономъ Клавдій Птоломей (во II в. по Р. X.), система котораго держалась боле тысячи лтъ и признавалась въ свое время геніальнымъ твореніемъ, писалъ, обыкновенно, шестидесятеричныя дроби безъ знаменателя. Для этого онъ цлыя числа подчеркивалъ горизонтальной чертой, шестидесятыя доли отмчалъ значком ', 3600-ыя значком '', 216000-ыя доли значкомъ ''' и т. д., смотря по ихъ разряду. И это длалось не только при измреніи времени и при градусахъ дуги, но и въ мрахъ длины и въ другихъ мрахъ. Такъ, напр., Птоломей выражаетъ сторону правильнаго вписаннаго десятиугольника черезъ — 37 4' 55'', при діаметр круга, равномъ 120. Это значитъ, что если діаметръ составляетъ 120, то сторона равняется