Чтение онлайн

И т. дале.

 Въ иныхъ старинныхъ ариметивахъ къ прогрессіямъ еще присоединялось вычисленіе рядовъ. Такъ, напр., арабскiй математикъ Алькархи (въ XI в. по Р. Христ.) далъ правило, какъ вычислять сумму кубовъ ряда послдовательныхъ чиселъ, начиная съ единицы.

Примры на правило Алъкархи можно привести такіе:

13 + 23 + 33 = (1 + 2 + 3)2, такъ какъ 1 + 8 + 27 =6 X 6

13+23 + 33 + 43 + 53 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)2, такъ какъ 1 + 8 + 27 + 64 + 125 = 15 X 15

и т. д.

Въ настоящее время прогрессіи и ряды не встрчаются въ учебникахъ ариметики и не входятъ въ школьную программу по этому предмету. Теперь признано, что для полнаго объясненія этихъ отдловъ нужна общая количественная наука, а не частная, числовая, т.-е. не ариметика, а алгебра.

Извлеченіе корней до самаго послдняго времени входило въ составъ ариметики и содержалось даже въ нкоторыхъ учебникахъ 60-хъ годовъ прошлаго столтія, напр., въ задачник, изданномъ департаментомъ народнаго просвщенія, имлись задачи на квадратные и кубическіе корни. Этотъ отдлъ, дйствительно, вполн числовой, и процессъ извлеченія корня очень подходилъ бы къ курсу ариметики, но только въ томъ бда, что трудно провести хорошее объяененіе этого дйствія безъ помощи алгебры, поэтому теперь извлеченіе корней признается обыкновенно частью алгебры.

Умли извлекать корни индусскіе и арабскіе математики, также и греческіе ученые. Индусамъ и арабамъ были извстны начала алгебры и даже въ такой мр, что они могли ршать квадратныя уравненія. Поэтому вполн слдовало ожидать того, что уже въ ХІІ в. по Р. X. извлеченіе корней шло почти такъ же, какъ идетъ оно сейчасъ у насъ.

Нтъ такого достаточно сильнаго выраженія, на которое поскупились бы составителя средневковыхъ ариметикъ, чтобы похвалить тройное правило. «Та строка тройная похвальная и лучшая строка изо всхъ иныхъ строкъ.» «Ее философы зовутъ золотою строкою». Въ нмецкихъ учебникахъ объ немъ отзывались, какъ о такомъ, которое «выше всхъ похвалъ», оно—«ключъ купцовъ». Такъ же и у французовъ оно слыло подъ именемъ r`egle dor'ee—золотого правила. Оно противополагалось цлой наук—алгебр.

За что же воздаются такія неумренныя похвалы отдлу, который въ наше время привыкъ занимать уже боле скромное мсто? Выяснить это очень интересно, и мы позволяемъ себ вернутъся немного назадъ и дать краткую характеристику цлей, которыя преслдовала ариметика съ древнихъ временъ.

Всякая наука въ первоначальной стадіи своего развитія вызывается практическими потребностями и стремится, въ свою очередь, имъ удовлетворить. Затмъ, въ зависимости отъ условій, при которыхъ она развивается, наука иногда довольно скоро, иногда боле медленно принимаетъ теоретическую окраску и на изучающихъ ее дйствуетъ образовательно, т.-е. совершенствуетъ ихъ душевыыя способности: умъ, чувство и волю: при медленномъ же рост наука долго остается руководительницей мастерства, сообщаетъ одно только умнье, даетъ человку механическіе навыки и придаетъ ему черты машинальности. И то и другое направленіе испытала ариметика. Съ одной стороны греческіе ученые видли въ ариметик боле всего образовательный элементъ; они постоянно ставили вопросы «почему?» и «зачмъ?», всегда искали основанія и вывода; ученики греческихъ школъ углублялись въ суть науки, думали надъ ней, и потому изученіе дйствовало на нихъ образовательно-развивающимъ образомъ. Съ другой стороны, индусы смотрли на ариыетику скоре со стороны искусства, они не любили вопроса «почему?», но у нихъ основнымъ вопросомъ всегда былъ: «какъ это сдлать?» Направленіе индусовъ перешло къ арабамъ, а оттуда въ средневковую Европу. Въ ней оно встртило чрезвычайно радушный пріемъ, и почва для него оказалась вполн благодарной: посл великаго переселенія народовъ и при безпрерывно продолжающихся войнахъ нечего было и думать о развитіи точной, частой, отвлеченной науки, а въ пору было ограничиться ея прикладной частью, достаточно было только учить «какъ длать», а не «почему такъ длать». И вотъ практическая окраска осталась за ариметикой на долгое время, почти до нашихъ дней, в вмст съ тмъ изученіе ея было узко-механическимъ: безъ выводовъ, разъясненій, безъ углубленія въ основанія; повсюду въ учебникахъ встрчалось «такъ длай», «длать надо такъ», и ученику оставалосъ только затверживать и примнять къ длу; у нашего Магницкаго тоже встрчается рядъ характерныхъ выраженій «зри сице», «зри изобртенія»; положимъ, среди этихъ выраженій у него есть «умствуй и придетъ», но какъ именно умствовать, на то дается очень мало намековъ. Сообразно практическому значенію ариметики, въ ней особенно выдлялось и цнилось все, что можетъ принести непосредственную выгоду, доставить заработокъ.

Но какая же часть ариметики можетъ боле дать практическихъ, непосредствеено приложимыхъ навыковъ, какъ не ршеніе задачъ? Поэтому вс старанія средневковыхъ авторовъ направлялись къ тому, чтобы собрать какъ можно больше задачъ и при томъ самаго разнообразнаго житейскаго содержанія. Тутъ были задачи а о продаж, и о покупк, о векселяхъ и о процентахъ, о смшеніи, объ обмн; пестрота была ужасная и разобраться во всей масс задачъ не представлялось нікакой возможности. Чтобы хоть нсколько сгруппировать и ввести нкоторую систему и порядокъ, пытались распредлить вс задачи по отдламъ или типамъ. Это мысль, конечно, хорошая, но выполнялась она, обыкновенно, очень неудачно, а задачи распредлялись не по способамъ ихъ ршенія, какъ бы слдовало, а по ихъ содержанію, т. е. по вншнему виду; напр., былъ особый видъ задачъ о собакахъ, догоняющихъ зайца, о деревьяхъ, о двицахъ и т. п.

Ршеніе задачъ съ раздленіемъ по ихъ содержанію не пріносило почти никакой пользы, потому что нисколько не помогало тому, чтобы лучше понимать ршеніе. Да и понимать-то, по мннію старинныхъ авторовъ, едва-ли нужно было.

«Это ничего», утшаетъ бывало наставникъ своихъ питомцевъ: «что ты ничего не понимаешь, ты и впереди также многаго не будешь понимать».

Вмсто пониманія рекомендовалось не заноситься, а выучивать наизусть все, что задаютъ, и потомъ стараться примнять это къ длу, т. е. къ примрамъ, а вся сила пониманія сосредоточивалась не на томъ, чтобы уяснить выводъ правила, а на боле скромномъ—на томъ, какъ примнить общее правило къ примрамъ.

И вотъ тройное правило являлось выдающимся и заслуживающимъ особеннаго вниманія во многихъ отношеніяхъ. Во-первыхъ, кругъ его задачъ довольно обширенъ, во-вторыхъ, самое правило выражается довольно просто и ясно, и въ третьихъ, примнить это правило было сравнительно нетрудно. За вс эти достоинства ему и дали названіе «золотог», «ключа купцовъ» и т. п.

Тройное правило получило начало у индусовъ, тамъ его задачи ршались большею частію приведеніемъ къ единиц. Арабскій ученый Альхваризми (IX в. по Р. X.) относилъ его къ алгебр. Леонардо Фибонначи, итальянецъ XIII в. по Р. X., посвящаетъ тройному правилу особый отдлъ подъ названіемь: ad majorem guisam, гд даются задачи на вычисленіе стоимости товаровъ. Примръ: 100 rotuli (пизанскій всъ) стоятъ 40 лиръ, что стоятъ 5 rotuli? Уcловіе записывалось такъ:

Правило предписывало ршать эту задачу слдующимъ порядкомъ: произведеніе 40 на 5 длить на 100.

 Особенное вниманіе, стали удлять тройному правилу съ ХVІ-го вка, т. е. съ тхъ поръ, какъ европейская торговля и промышленность сразу двинулись впередъ, благодаря важнымъ изобртеніямъ и открытію новыхъ странъ. Но это не мшало разрабатывать эту главу совершенно неудовлетворительно, по крайней мр, съ нашей точки зрнія. Прежде всего опредлялось правило чисто вншнимъ сбразомъ « задача состоитъ изъ трехъ чиселъ и даетъ собою четвертое число подобно тому, какъ если поставить три угла дома, то этимъ самымъ ужъ опредлится 4-й уголъ; второе число надо умножить на 3-е, и что получится, то раздлить на 1-е число». Такое опредленіе не могло не вести къ сбивчивости, и прежде всего являлся вопросъ: что считать первымъ числомъ, и всякія ли задачи съ тремя данными числами можно ршать тройнымъ правиломъ? Разъяснять это недоразумніе учебники не считали нужнымъ. Кром того, ршались задачи не только съ цлыми числами, но и съ дробями, и въ иныхъ ариметикахъ он располагались такъ непослдовательно, что задачи съ дробными числами на тройное правило помщались раньше главы о дробяхъ, потому что и все тройное правило шло раньше ариметики дробныхъ чиселъ.

Посл тройного правила съ цлыми числами и дробями излагалось особое правило «сократительное», въ которомъ разъяснялось, какъ можно сокращать нкоторыя данныя числа, а потомъ уже шло правило «возвратительное»; это былъ очень сбивчивый отдлъ, къ которому принадлежали вопросы съ обратной пропорціональностью, и авторамъ учебниковъ никакъ не удавалось разграничить, какія задачи относятся къ этой групп; ученикамъ приходилось полагаться на свою собственную догадку и довольствоваться смекалкой. Въ XV и ХXII вв. объясненіе давалось въ род слдующаго: «Если мра зерна стоитъ 1 1/2 марки, то на 1 марку даютъ два пуда хлба; сколько пудовъ хлба дадутъ на марку, если мра зерна стоитъ 1 3/4 марки; ршаемъ тройнымъ правиломъ, получится

но понятливый смекнетъ, что когда зерно вздорожаетъ, то хлба будутъ давать меньше, а не больше, поэтому вопросъ надо перевернуть, будетъ

.»

Въ подобномъ дух трактуетъ и Магницкiй (1703 г.)

 За тройнымъ правиломъ шло пятерное, за нимъ семерное. Легко догадаться, что это частные случаи сложнаго тройного правила, именно когда по 5 или 7 даннымъ, находящимся между собою въ пропорціональной зависимости, отыскивается 6-е или 8-е, имъ соотвтствующее число, иначе сказать: пятерное правило требуетъ 2-хъ пропорцій, а семерное трехъ. Пятерное правило объяснялось въ ХVІІІ вк такъ: