Чтение онлайн

Тарталья различаетъ простую итальянскую практику и искусственную. Простой практикой ршаются вопросы не особенно сложные, которые относятся главн. обр. къ простому тройному правилу. Первый примръ: 8 килограммовъ саго стоятъ 3,80 марокъ., что стоятъ 12 килограммовъ саго? Для ршенія мы сперва высчитаемъ стоимость 4 килограммовъ, а для этого достаточно 3,80 марокъ раздлить пополамъ, потому что 4 килограмма составляютъ половину 8, и слд., цна ихъ составляетъ половину 3,80 марокъ, затмъ складываеиъ стоимость 8-ми килогр. и 4-хъ и получаемъ искомую цну 12-ти:

Приведемъ еще примръ, въ которомъ удобне не складывать, а вычитать: 15 арш. матеріи стоятъ 16,80 рублей, что стоятъ 10 аршинъ матеріи?

Искусственная итальянская практика состоитъ въ слдующемъ. Если въ задач встрчается какой-нибудь сложный множитель, то разбиваютъ его на слагаемыя и эти слагаемыя подбираютъ такъ, чтобы самое большое являлось кратнымъ остальныхъ, или вообще одно слагаемое содержало въ себ другое; когда намъ удалось такъ разложить, то мы умножимъ данное число на большее слагаемое, а вс остальныя произведенія получимъ дленіемъ и именно воспользуемся свойствомъ, что во сколько разъ меныне множитель, во столь-ко же разъ меныпе и произведеніе. Примръ: сколько прибыли получится съ 9000 руб. по 4% за 1 годъ 2 м. 24 д? Въ этомъ случа вычисляемъ сперва прибыль за 1 годъ, потомъ за 1/6 года, т.-е. за 2 мсяца, для этого длимъ годовую прибыль на 6, потомъ вычисляемъ за 20 дней — они составляютъ 1/3 двухъ мсяцевъ, потомъ за 4 дня, т.-е. за 1/5 двадцати дней; въ конц вс полученныя прибыли складываемъ. Тарталья даетъ подобнымъ задачамъ такое расположеніе:

Еще примръ: найти прибыль съ 6000 р. по 4% за 1 г. 7 м. 9 дней.

Изъ этихъ примровъ можно понять, чмъ отличается итальянская практика отъ тройного правила: въ тройномъ правил идетъ приведеніе къ единиц или, точне сказать, къ простой единиц, здсь же вопросъ приводится къ сложной единиц, т. е. къ групп единицъ. Это видне на такомъ примр: 22 фунта стоятъ 10 руб., сколько стоятъ 33 ф.? По итальянской практик не надо приводить этого вопроса къ 1 фунту, а удобне привести прямо къ кратной части всего количества, къ 11 фун.; получимъ ихъ стоимость=5 р.; а потомъ остается 5 руб. повторить 3 раза.

Въ послднее время задачи на приведеніе къ кратной части и на сложеніе кратныхъ частей стали встрчаться въ нкоторыхъ задачникахъ, особенно для начальной школы. Это очень хорошо, потому что такіе вопросы развиваютъ сообразительность, даютъ просторъ выбору и обсужденію способовъ и вообще соотвтствуютъ истинной цли ариметики, какъ общеобразовательнаго учебнаго предмета, имющаго ввиду развить умъ, а не только снабдить ученика навыками счета.

Существовало и такое правило, и не только существовало, но пользовалось громаднымъ вниманіемъ. По крайней мр, у Магницкаго особая 4-я часть его ариметики была посвящена правиламъ „фальшивымъ или гадательнымъ“, въ то время, какъ въ 1-й части шли дйствія надъ цлыми числами, во 2-й надъ дробями, въ 3-й помщено тройное правило и въ 5-й и послдней о „прогрессіи и радиксахъ (т. е. корняхъ) квадратныхъ и кубичныхъ". Что же это за фальшивое правило, и почему у него такое странное названіе? Магницкій какъ бы предвидитъ подобный вопросъ и потому объясняетъ успокоительно:

 Объяснимъ это правило на общеязвстной задач о гусяхъ, кстати она и помщена въ ариметик Румовскаго (1760 г.), какъ примръ фальшиваго правила. Задача такая:

Ршеніе такое: положимъ, во-первыхъ, что гусей было хоть двадцать; сочтемъ теперь, что составитъ столько, да полъ столько, да четверть столько, да еще одинъ, и выйдетъ всего гусей 20 + 20 + 10 + 5 + 1 = 56; а ихъ надо 100, слдовательно не достаетъ 44-хъ. Положимъ теперь, во-вторыхъ, что гусей было 24, и сосчитаемъ опять итогъ, выйдетъ 24 + 24 + 12 + 6 + 1=67, не достаетъ до 100 33-хъ. Итакъ, первое предположеніе было 20, недостатокъ 44, второе предположеніе 24, недостатокъ 33. Теперь слдуетъ перемножить накрестъ 20 24 и изъ большаго произведенія

20 24

X

44 33

вычесть меньшее, т.-е. 44 · 24 - 20 · 33 = 1056 - 660= 396 и этотъ остатокъ 396 раздлить на разницу между обоими недостатками 44 — 33, получится 396 :11 = 36, врный отвтъ задачи. Общее правило выражается такъ: надо принять для вопроса задачи какое-нибудь произвольное значеніе, высчитать тотъ результатъ, который получится, когда подставимъ въ задачу это произвольное число, затмъ высчитать погршность; точно также берется второе произвольное значеніе и вычисляется второй результатъ и вторая погршность; тогда

Способъ фальшиваго правила былъ извстенъ индусамъ и арабамъ еще въ IX в. по Р. X., при чемъ выводъ его принадлежитъ, по всей вроятности, индусамъ. Въ латинскихъ рукописяхъ Парижской библіотеки говорится, что индусское сочиненіе, относящееся къ этому предмету, было переведено въ XII в. на еврейскій языкъ испанскимъ евреемъ Авраамомъ бэнъ-Эзра. Съ еврейскаго языка это сочиненіе было переведено впослдствіи на латинскій. У арабскихъ писателей фальшивое правило пользовалось широкимъ распространеніемъ, и объ немъ говорятъ вс арабскіе математики.

Альхваризми (въ IX в. по Р. X.) даегь слдующій примръ: «найти такое число, что если отнять отъ него 1/3 и 1/4 его, то въ остатк будетъ 8»; положимъ, что число будетъ 12, тогда остатокъ вышелъ бы 5, вмсто 8, т.-е. на 3 меньше; пусть число 24, тогда остатокъ оказался бы больше настоящаго на 2, теперь въ формул ршенія намъ придется сложить 2 произведенія, о которыхъ говорилось выше въ правил, а не вычесть одно изъ другого, и это потому, что въ задач одинъ отвтъ больше настоящаго, а другой меньше его (24.3 +12.2) : (3 + 2) = 191/5. О фальшивомъ правил много говоритъ также Леонардо Фибонначи, итальянскій математикъ 13 ст. Въ русскихъ математическихъ рукописяхъ XVII в. это правило извстно подъ такимъ именемъ: «статья цифирная именуется вымышленая или затйчивая. Высокаго остропамятнаго разума и умнаго прилежаніе ея-же нціи фальшивою строкою нарекоша, иже ни малымъ чмъ погршается».

Сущность фальшиваго правила лучше всего объясняется алгебраически. Возьмемъ одно уравненіе первой степени съ однимъ неизвстнымъ: ax+b = 0. Примемъ x равнымъ произвольному количеству k1; подставивъ k1 вмсто х, пусть мы получимъ во второй части вмсто нуля т1, такъ что ak1 + b = n1 т.-е. ошибка оказалась во второй части на n1. Дадимъ иксу другое произвольное значеніе k2, и пусть вторая часть обратится въ n2, такъ-что ошибка второй части уравненія будетъ n2. Теперь мы получимъ такую систему: