Чтение онлайн

Если взять десятокъ-другой учебниковъ ариметики, изданныхъ въ послдніе годы на русскомъ язык, то увидимъ, что вс они очень похожи другъ на друга. Если просмотрть учебники на раз-ыхъ языкахъ за послднее столтіе, то увидимъ разницу въ матеріал и въ его объяененіи. Но эта разница сдлается рзко-очевидной, если сопоставить учебники древняго времени съ учебниками новаго. О характер объясненій въ старинное время или, врне, объ отсутствіи объясненій мы уже упоминали. Но самое содержаніе ариметики сейчасъ далеко не то, каково оно было прежде. Приведемъ нсколько подробностей.

Въ ариметик, составленной Павломъ Цвтковымъ (1834 г.), есть отдлъ объ извлеченіи квадратныхъ и кубическихъ корней. Этотъ отдлъ исключенъ изъ ариметики вообще около средины 19-го вка. Корни извлекаются у Цвткова изъ отвлеченныхъ чиселъ и изъ именованныхъ. Напр., корень квадратный изъ 4 дней 302 час. 369 мин. квадратныхъ составляетъ 2 дня 3 часа 3 мин.; при этомъ вводится квадратный день, въ которомъ 576 квадр. ч. и кв. часъ въ 3600 кв. минутъ — все это несообразности.

До второго десятилтія 19-го в. вставлялись въ ариметику логаримы, и это начали длать съ самаго ихъ примненія къ математик, т. е. съ 17 ст. У Василія Загорскаго (1806 г.) логаримы подробно объяснены, и къ нимъ приложены таблицы; въ этихъ таблицахъ содержатся логаримы чиселъ до 10000 съ семью десятичными знаками.

Въ «Начальныхъ основаніяхъ ариметики», сочиненныхъ Степаномъ Румовскимъ (1760 г.), помщены прогрессіи, которыя мы встрчаемъ у всхъ его предшественниковъ. У Магницкаго въ его извстной «Ариметик, сирчь наук числительной», которая «съ разныхъ діалектовъ на славенскій языкъ преведена, и во едино собрана, и на дв книги раздлена», вся вторая книга, т. е. вторая половина, содержитъ такіе отдлы, которые сейчасъ у насъ не признаются ариметическими и ни въ какомъ случа не помщаются въ учебникахъ ариметики. Это, во-первыхъ, ариметика-алгебраика, по нашему сказать алгебра, съ ея нумераціей и дйствіями и съ извлеченіемъ такихъ мудреныхъ корней, что одно названіе ихъ приводитъ въ недоумніе: биквадратъ или зензизензусъ—корень 4-й степени, солидусъ или сурдесолидусъ—5-й степени, квадратокубусъ или зензикубусъ—6-й степени, бисурдесолидусъ или бисолидусъ—7-й степени, триквадратъ или зензизензусъ отъ зенза—8-й степени, бикубусъ, кубокубусъ, сугубый кубусъ—9-й ст.; квадратъ солида, зенсурдесолидъ—10-й ст.; кубосурдесолидъ, терсолидъ—11-й ст., биквадрато-кубусъ — 12-й ст. За этими корнями, которые, впрочемъ, боле страшны и обширны своими названіями, чмъ процессомъ извлеченія, идетъ ариметика-логистика или астрономская «како въ градусахъ, минутахъ и секундахъ, и въ прочихъ колесъ сченіяхъ дйство и чинъ ариметика содержитъ»; здсь просто-напросто показывается, какъ длать вычисленія съ градусами, минутами и секундами. Потомъ идетъ еще приложеніе, и на этотъ разъ геометрическаго характера «о геометрическихъ черезъ ариметику дйствуемыхъ», гд ршаются примры на вычисленія площадей и объемовъ, и даже сообщаются свднія изъ тригонометріи. Въ заключеніе идетъ глава «о земномъ размреніи и яже къ мореплаванію прилежатъ», тутъ есть таблицы широтъ и долготъ, описаніе втровъ и т. п. Какое разнообразіе содержанія! Можно сказать, что ариметика Магницкаго— это цлая энциклопедія; въ ней собраны всевозможные случаи, гд только можетъ пригодиться вычисленіе: и изъ хозяйетва, и изъ ремеслъ, и изъ гражданской и военной жизни. Сочинитель заботился, чтобы его книга всхъ удовлетворила и ни одного вопроса не оставила безъ отвта, чтобы она всецло соотвтствовала требованіямъ практики.

Эта пестрота и этотъ наборъ всевозможнаго матеріала, который складывается въ одну кучу, на всякій случай, авось пригодится гд-нибудь въ жизни и хозяйств, эта пестрота и случайность еще боле проскальзываютъ въ старинныхъ сборникахъ XVI—XVII вка. Чего-чего только тамъ нтъ. Какъ Плюшкинъ тащилъ въ свою груду всякій ненужный хламъ и рухлядь, и какъ любитель-коллекціонеръ добываетъ и вставляетъ въ свое собраніе всякія мелочи и подробности, такъ и авторы старинныхъ учебниковъ собирали въ ариметику все, что хоть сколько-нибудь подходитъ къ ея практическимъ требованіямъ и можетъ дать отвтъ на какой-нибудь числовой воііросъ. О смысл, цлесообразности и воспитательномъ дйствіи науки не заботились: лишь бы только она годилась для жизни. Доходило дло до такихъ курьезовъ и странностей: «Есть убо человкъ, яко же повдаютъ, на глав имя 3 швы и на углы составлены; женская же глава иметъ единъ шовъ, кругомъ обходя главу; да по тому знаменію и въ гробхъ знаютъ, кая мужеска, кая-ли женска». «Хошь сыскати тварей обновленіе небу и земл, морю и звздамъ, солнцу и лун, и индикту». Оказывается, небо поновляется въ 80 лтъ, а земля въ 40 лтъ, море въ 60 лтъ.

Въ составъ средневковыхъ ариметикъ входили еще такъ называемыя математическія развлеченія. Трудно и скучно было тогдашнимъ ученикамъ. Сухое изложеніе, мудреный языкъ, масса научныхъ терминовъ, отсутствіе объясненій [10] — все это приводило къ тому, что ученье обращалось въ долбленье, и только боле счастливые, т. е. боле сильные, умы могли справляться съ матеріаломъ, перерабатывать и понимать. Вотъ когда появились поговорки: «корень ученья горекъ» и «лучше книги не скажешь». Чтобы хотъ нсколько оживить учениковъ, утшить и ободрить, ихъ назидали, во-первыхъ, ув-щательными стихами, гд воспвалась вся сладость подвига и вся цнность результатовъ, которыхъ иметъ достигнуть «мудролюбивый» отрокъ:

Во-вторыхъ, давались задачи съ оотроумнымъ содержаніемъ и требовавшія особенной изворотливости и догадки. Вотъ задача изъ сборника, приписываемаго Алькуину (въ 8 в. по Р. X). Рукопись относится приблизительно къ 1000 г. по Р. X. «Два человка купили на 100 сольдовъ свиней и платили за каждыя пять штукъ по 2 сольда. Свиней они раздлили, продали опять каждыя 5 штукъ по 2 сольда и при этомъ получили прибыль. Какъ это могло случиться? А вотъ какъ: на 100 сольдовъ приходится 250 свиней, ихъ они раздлили пополамъ, на 2 стада, и изъ перваго стада отдавали по 2 свиньи на 1 сольдъ, а изъ второго по 3; тогда достаточно выдать по 120 штукъ изъ каждаго стада, такъ какъ придется получить 60 сольдовъ за свиней перваго стада, 40 за свиней второго, всего 100 сольдовъ; 5-ть же штукъ изъ каждаго стада останется въ прибыли». Требуется разгадать эту загадку.

Въ сборник Алькуина содержится извстная загадка о волк, коз и капуст, которыхъ надо перевезти черезъ рку, съ такимъ условіемъ, что въ лодк нельзя помщать волка съ козой, козы съ капустой, и оставлять на берегу тоже нельзя вмст, потому что они съдятъ; какъ же это устроить?

 Лучшій сборникъ задачъ-загадокъ издалъ Баше-де-Мезиріакъ въ 1612 году, заглавіе его такое: Probl`emes plaisantes et d`elictables qui se font par les nombres. Въ немъ помщена большая часть тхъ задачъ, какія встрчаются и сейчасъ въ сборникахъ этого рода, наприм., о задуманныхъ числахъ, о работник, котораго нанимаетъ хозяинъ съ условіемъ платить ему за рабочіе дни и вычитать за прогульные, и т. д.

 Въ старинныхъ русскихъ ариметикахъ можно отмтить такія интересныя задачи: «I. Пришелъ христіянинъ въ торгъ и принесъ лукошко яицъ. И торговцы его спрошали: много-ли у тебя въ томъ лукошк яицъ? И христіянинъ молвилъ имъ такъ: язъ, господине, всего не помню на перечень, сколько въ томъ лукошк яицъ. Только язъ помню: перекладывалъ язъ т яйца изъ лукошка по 2 яйца, ино одно яйцо лишнее осталось на земли; и язъ клалъ въ лукошко по 3 яйца, ино одно же яйцо осталось; и язъ клалъ по 4 яйца, ино одно же яйцо осталось; и язъ клалъ по 5 яицъ, ино одно же яйцо осталось: и язъ ихъ клалъ по 6 яицъ, ино одно же яйцо осталось; и язъ клалъ по 7 яицъ, ино все посему пришло. Ино, сколько яицъ въ томъ лукошк было, сочти ми? Придетъ было 721. II. Левъ сълъ овцу однимъ часомъ, а волкъ сълъ овцу въ 2 часа, а песъ сълъ овцу въ 3 часа. Ино, хощешь вдати, сколько бы они вс три: левъ, волкъ и песъ овцу съли вмст вдругь и сколько бы они скоро ту овцу съли, сочти ми [11] )?

III. О деньгахъ въ куч вдати. Аще хощеши въ куч деньги вдати, и ты вели перевесть по 3 деньги. А что останется отъ 3-хъ—2 или 1, и ты за 1 по 70. Да опять вели перевести по 5, и что останется—4 или 3, или 2, или 1, и ты за 1 клади по 21. Да опять вели перевести по 7, и что останется — 6 или 5, или 4, или 3, или 2, или 1, и ты тако же за всякій 1 клади по 15. Да что въ остаткахъ перечни родились, и т перечни сочти вмсто, а сколько станетъ, и ты изъ того перечню вычитай по 105, и что останется отъ сто пяти или сама сто пять, то столько въ куч и есть».

Немаловажной статьей среди математическихъ развлеченій были магическіе квадраты. Что такое магическій квадратъ? Это рядъ чиселъ отъ 1 и до какого-нибудь предла, размщенныхъ по клткамъ квадрата такъ, что сумма чиселъ по діагоналямъ и по сторонамъ остается постоянной. Вотъ примры, взятые изъ сборника Алькуина (этотъ ученый особенно любилъ магическіе квадраты):

Они встръчаются въ сочиненiяхъ секты «Чистыхъ братьевъ», существовавшей въ X в. по Р. X. въ г. Аль-Бассра. Эта секта приписывала магическимъ квадратамъ особенную таинственную силу. Врили, что они способны измнить расположеніе звздъ при рожденіи младенца и помочь ему.

Въ конц ариметики Іоанна Севильскаго (1150 года) приведенъ такой магическій квадратъ:

Объясненія не дано, только помщены т же самыя черточки, какія и на этомъ чертеж.

Исторія алгебры.

Хотя народы древвяго міра не знали нашей алгебры, но это не мшало имъ заниматься такими вопросами, которые принадлежатъ, собственно говоря, алгебр. Еще у египтянъ въ древнйшей рукописи-папирус Ринда ршаются уравненія первой степени съ однимъ неизвстнымъ; въ этихъ уравненіяхъ мы встрчаемъ и знаки, напр., своеобразный знакъ равенства / / . Задача помщена, между прочимъ, такая: « 2/3 цлаго числа вмст съ его 1/2 , и 1/7 и съ этимъ же цлымъ числомъ даютъ 33, найти неизвстное»; прежде всего отбираются извстные члены въ одну часть, а неизвстные въ другую, коэффиціенты при неизвстныхъ представляются основными дробями (т. е. съ числителемъ 1) или же выражаются въ одинаковыхъ доляхъ и складываются; величина неизвстнаго опредляется такъ: въ первомъ случа умножается коэффиціентъ на подходящее число, такъ чтобы въ произведеніи получился извстный членъ, а во второмъ множатъ извстный членъ на знаменателя коэффиціента и полученное длятъ на числителя.