Курс теоретической астрофизики
Шрифт:
Подстановка S(0,0) из (3.27) в (3.41) даёт
I(0,)
=
S
0
,
1
1
–
2
b
a
A(x)
dx
x
– 1/2
.
(3.42)
3. Предположим, что g=. На основании формулы (3.38) имеем
I(0,)
=
0
S
,
1
d
.
(3.43)
Для определения интеграла (3.43) воспользуемся уравнением (3.15). Умножая это уравнение на и интегрируя по от 0 до , получаем
x
0
S(,x)
d
=
0
S(,x)
d
+
S(0,x)
0
d
.
(3.44)
Но из формул (3.38) и (3.41) следует
x
0
S(,x)
d
=
S(0,0)
S(0,x)
.
(3.45)
Поэтому вместо (3.44) находим
x
0
S(,x)
d
=
S(0,x)
1
x
S(0,0)
+
0
d
.
(3.46)
Для определения интеграла в правой части соотношения (3.46) умножим это соотношение на A(x) dx и проинтегрируем от a до b. Пользуясь формулой (3.22) и уравнением (3.20) при x=0, получаем
0
d
=
S^2(0,0)
b
a
A(x)
S(0,x)
dx
x^2
.
(3.47)
Заменяя в (3.46) x на 1/ и подставляя (3.47), окончательно находим
I(0,)
=
S(0,0)
S
0,
1
x
x
+
S(0,0)
b
a
A(x)
S(0,x)
dx
x^2
.
(3.48)
Аналогично, пользуясь формулой (3.38) и уравнением (3.15), можно найти интенсивность излучения I(0,) и в случае, когда g=n при любом целом n.
4. Будем считать, что источники излучения расположены на бесконечно большой глубине. В этом случае функция S, определяемая однородным уравнением (3.28), связана с функцией соотношением (3.30). Умножая это соотношение на e– / и интегрируя по от 0 до , находим
I(0,)
(1-k)
=
S(0)
1
+
0
e
– /
d
.
(3.49)
Отсюда, при использовании формулы (3.14), следует:
I(0,)
=
S(0)
S(0,1/)
1-k
.
(3.50)
Мы видим, что во всех рассмотренных случаях интенсивность излучения I(0,) выражается через функцию S(0,x) весьма простыми формулами. В дальнейшем эти формулы будут неоднократно применяться.
6. Применение к звёздным фотосферам.
Применим изложенный выше метод к решению задачи о переносе излучения через фотосферу звезды. Как мы знаем, при предположении о независимости коэффициента поглощения от частоты указанная задача сводится к интегральному уравнению Милна
S
=
1
2
0
E
|-'|
S(')
d'
.
(3.51)
Мы видим, что это уравнение является частным случаем однородного уравнения (3.28) при
K
=
1
2
E
=
1
2
1
e
– x
dx
x
,
(3.52)
т.е. при A(x)= 1/2 x, a=1 и b=.
Применение изложенного метода должно начинаться с составления уравнения для определения функции S(0,x). Для упрощения записи обозначим x=1/, S(0,x)=. Тогда уравнение (3.20) для данного случая принимает вид
=
1
+
2
1
0
(')
+'
d'
.
(3.53)
Уравнение (3.53) было впервые получено В. А. Амбарцумяном другим способом. Путём численного решения этого уравнения были составлены подробные таблицы функции . Эта функция монотонно возрастает от значения (0)=1 до значения (1)=2.9. Получено также выражение в явном виде * ).
* ) Подробнее об уравнениях типа (3.53) см. гл. IV.
Если функция известна, то может быть найдена и функция . Для её определения мы имеем уравнение
0
e
– s
d
=
1
–
1
2
1
0
d
1+s
^1
–
1,
(3.54)
вытекающее из (3.25). Обращение преобразования Лапласа даёт
=
3
+
2
1
0
e– /d
^2 +
2 + ln
1-
1+
^2
.
(3.55)
Знание функции позволяет получить как решение однородного уравнения (3.51), так и решение соответствующего ему неоднородного уравнения. Однако нас сейчас интересует только решение уравнения (3.51). Это решение определяется формулой (3.31).
Из уравнения (3.35) следует, что в данном случае k=0. Поэтому имеем
S
=
S(0)
1
+
0
(')
d'
.
(3.56)
Формулой (3.56) и даётся искомое точное решение интегрального уравнения Милна.
Мы можем также получить точный закон распределения яркости по диску звезды. Яркость на угловом расстоянии от центра диска даётся формулой (2.54). Полагая в ней cos =, приходим к формуле (3.36). Выше было показано, что интенсивность излучения I(0,) при источниках на бесконечности определяется формулой (3.50). Но в данном случае k=0 и S(0,1/)=. Поэтому яркость на угловом расстоянии arccos от центра диска будет равна