Логика для юристов: Учебник.
Шрифт:
Представив таким образом сложную формулу, мы выделяем в ней последнюю по построению логическую константу, которая и называется главной логической константой формулы.
Найдем главную логическую константу формулы p q p q.
Восстановим скобки в этой формуле:
(( p q) (р q)).
Эту формулу единственным образом можно представить в форме А В. Ее главным знаком является знак импликации. Можно представить в виде “дерева” процесс построения этой формулы:
| р | q | ||
| i | ^ | ||
| ^р | <l | Р | |
| 1^ | ^ | ^ | ^ |
| Ьр | V | (pn^q) | |
| 2 | 4 | ||
| ^ | i | ||
p q
V V
p q p q
1V V V 3V
( p q) (p q)
2 4
V V
(( p q)(p q))
5
Стрелки показывают, что из формул (или формулы), от которых они направлены, образована формула, к которой они направлены. Цифры под логическими константами указывают порядковый номер константы по построению формулы. Последняя по построению константа имеет номер 5.
Упражнение 5
Найдите главную логическую константу в каждой из следующих формул.
1. (р q) r р r;
2. р q r р ( q r);
3. ((p q) q) q;
4. (р р ).
Построим таблицу истинности для формулы р q q. В таблице под главной константой формулы будем писать истинностные значения формулы в целом. В этой формуле главной логической константой является знак импликации. Чтобы установить истинностные значения всей формулы, необходимо установить истинностные значения подформул, составляющих ее, т.е. формул р q и q. Истинностные значения этих формул будем соответственно писать под логическими константами и . В результате получим таблицу истинности:
| p | q | р q q |
| и | и | и л л |
| и | л | и и и |
| л | и | и л л |
| л | л | л и и |
Проанализируем первую строку таблицы. В первой строке пропозициональные переменные р и q имеют значение и. Чтобы установить истинностное значение формулы в целом, следует установить истинностные значения подформул р q и q . При значении и переменных р и q р q имеет значение и, при значении и переменной q формула q имеет значение л, что видно из таблиц истинности для дизъюнкции и отрицания, приведенных выше.
| p | q | р q q |
| и | и | и л |
Оказывается, антецедент формулы в целом, являющейся импликацией, имеет значение и, а консеквент — л. В приведенной выше таблице для импликации в этом случае импликация имеет значение л:
| p | q | р q q |
| и | и | и л л |
Можно упростить построение таблиц истинности, если значения пропозициональных переменных писать под переменными, входящими в саму формулу.
В приведенном выше табличном определении отрицания всего две строки, а в определениях для конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквивалентности — по четыре строки. Как установить число строк в таблице в общем случае, т.е. как установить, сколько может быть различных возможных наборов значений переменных, входящих в формулу?
Число строк в таблице истинности определяется по следующей формуле: число строк таблицы = 2n, где п — число различных пропозициональных переменных, входящих в формулу, а число 2 показывает число истинностных значений (и, л).
Учитывая сказанное, построим таблицу истинности для формулы:
(р (q r)) ((р q) (р r)).
Формула содержит три различные переменные. Следовательно, число строк в таблице = 2n, 23=8. Разделим число строк пополам и напишем под первой пропозициональной переменной (первой слева) в столбик четыре раза и и четыре раза л:
(р (q r)) ((р q) (р r)).
и