Чтение онлайн

Для каждой комбинации проведем тест К-С. Комбинацию, которая даст наи­меньшую статистику К-С, будем считать оптимальной для параметров SKALE и KURT (на данный момент). Чтобы провести тест К-С для каждой комбинации, нам необходимо как фактическое распределение, так и теоретическое распределение (определяе­мое параметрами тестируемого характеристического распределения). Мы уже знаем, как создать функцию распределения вероятности X/N, где N яв­ляется общим числом сделок, а Х является рангом (от 1 до N) данной сделки. Теперь нам надо рассчитать ФРВ для теоретического распределения при данных значениях параметров LOC, SCALE, SKEW и KURT. У нас есть характеристическая функция регулируемого распределения, она за­дается уравнением (4.06). Чтобы получить ФРВ из характеристической функции, необходимо найти интеграл характеристической функции. Мы обозначаем ин­теграл, т.е. площадь под кривой характеристической функции в точке X, как N(X). Таким образом, так как уравнение (4.06) дает первую производную интеграла, мы обозначим уравнение (4.06) как N'(X). В большинстве случаев вы не сможете вывести интеграл функции, даже если вы опытный математик. Поэтому вместо интегрирования функции (4.06) мы будем использовать другой метод. Этот метод потребует больших усилий, но он применим к любой функции.

Вероятность для любой точки на графике характеристической функции можно оценить, если распределение представить себе как последователь­ность узких прямоугольников. Тогда для любого данного прямоугольника в распределении вы можете рассчитать вероятность, ассоциированную с этим прямоугольником, как отношение суммы площадей всех прямоугольников слева от вашего прямоугольника (включая площадь вашего прямоугольника) к сумме площадей всех прямоугольников в распределении. Чем больше пря­моугольников вы используете, тем более точными будут полученные вероят­ности. Если бы вы использовали бесконечное число прямоугольников, то ваш расчет был бы точным. Рассмотрим процедуру поиска площадей под кривой характеристического распределения на примере. Допустим, мы хотим найти вероятности, ассоцииро­ванные с каждым отрезком длиной 0,1 в интервале от -3 до +3 сигма. Отметьте, что в таблице (с. 183) рассмотрен интервал от -5 до +5 сигма. Дело в том, что луч­ше выйти на 2 сигмы за ограничительные параметры (-3 и +3 сигма в нашем слу­чае), чтобы получить более точные результаты. Отметьте, что Х — это число стандартных единиц, на которое мы смещены от среднего значения. Далее идут значения четырех параметров. Следующий стол­бец — это столбец N'(X), который отражает высоту кривой в точке Х при этих зна­чениях параметров. N'(X) рассчитывается из уравнения (4.06). Воспользуемся уравнением (4.06). Допустим, нам надо рассчитать N'(X) для Х= -3 со значениями параметров 0,02, 2,76, 0 и 1,78 для LOC, SCALE, SKEW и KURT соответственно. Сначала рассчитаем показатель асимметрии для уравне­ния (4.06). Формула для расчета С задается уравнением (4.07):

Затем подставляем С = 1 в уравнение (4.06):

Таким образом, в точке Х = -3 N'(X) = 0,02243444681 (отметьте, что мы рассчиты­ваем значения в столбце N'(X) для каждого значения X).

Рассчитаем очередной столбец, текущую сумму N'(X), накапливающуюся с рос­том X. Это сделать достаточно просто. Далее рассчитаем столбец N(X) для вероятно­сти, ассоциированной с каждым значением Х при данных значениях параметров. Формула для расчета N(X) выглядит следующим образом:

где С = текущее количество точек X;

М = общее количество точек X.

Уравнение (4.12) означает, что при каждом изменении Х необходимо добавить теку­щую сумму при данном значении Х к текущей сумме предыдущего значения X, затем разделить полученную сумму на 2. Далее полученный результат следует разделить на последнее значение в столбце текущей суммы N'(X) (накопленная сумма значений N'(X)). Это даст нам вероятность для значения Х при данных значениях параметров.

Таким образом, для Х = -3 текущая сумма N(X) = 0,302225586, а для предыду­щего значения Х = -3,1 текущая сумма равна 0,2797911392. Сумма двух этих вели­чин равна 0,5820167252. При делении на 2 мы получаем 0,2910083626. Разделив эту величину на последнее значение в столбце накопленной суммы N'(X), равное 11,8535923812, мы получаем 0,02455022522. Это и есть вероятность N(X) при стан­дартном значении Х = -3.

После того как мы вычислили накопленные вероятности для каждой сделки в фактическом распределении и вероятности для каждого приращения стандарт­ного значения в нашем характеристическом распределении, мы можем осуще­ствить тест К-С для значений параметров характеристического распределения, которые используются в настоящий момент. Однако сначала рассмотрим два важ­ных момента.

В примере с таблицей накопленных вероятностей, показанной ранее для нашего регулируемого распределения, мы рассчитывали вероятности с при­ращением стандартных значений 0,1. Это было сделано для наглядности. На практике вы можете получить большую степень точности, используя мень­ший шаг приращения. Приращение 0,01 в большинстве случаев является вполне приемлемым.

Скажем несколько слов о том, как для регулируемого распределения выб­рать ограничительные параметры, то есть количество сигма с каждой стороны от среднего. В нашем примере мы использовали 3 сигма, но в действительно­сти следует использовать абсолютное значение самой отдаленной точки от среднего. Для нашего примера с 232 сделками крайнее левое (самое меньшее) стандартное значение составляет -2,96 стандартной единицы, а крайнее пра­вое (самое большое) составляет 6,935321 стандартной единицы. Так как 6,93 больше, чем ABS(-2,96), мы должны взять 6,935321. Теперь добавим еще 2 сигма к этому значению для надежности и найдем вероятности для распреде­ления от -8,94 до +8,94 сигма. Так как нам нужна хорошая точность, мы будем использовать приращение 0,01. Рассчитаем вероятности для стандартных значений: