Чтение онлайн

торгуете без опционов и рассматриваете торговлю как не ограниченную во вре­мени, ваш реальный риск банкротства равен 1. При таких условиях вы неми­нуемо разоритесь, что вполне согласуется с уравнениями риска банкротства, поскольку в них в качестве входных переменных используются эмпирические данные, то есть входные данные в уравнениях риска банкротства основывают­ся на ограниченных наборах сделок. Утверждение о гарантированном банкрот­стве при бесконечно долгой игре с неограниченной ответственностью делает­ся с позиций параметрического подхода. Параметрический подход учитывает большие проигрышные сделки, которые расположены в левом хвосте распре­деления, но еще не произошли, поэтому они не являются частью ограничен­ного набора, используемого в качестве входных данных в уравнениях риска банкротства. Для примера представьте себе торговую систему, в которой применяется по­стоянное количество контрактов. В каждой сделке используется 1 контракт. Что­бы узнать, каким может стать баланс через Х сделок, мы просто умножим Х на среднюю сделку. Таким образом, если система имеет среднюю сделку 250 долла­ров и мы хотим знать, каким может стать баланс через 7 сделок, мы $250 умножим на 7 и получим $1750. Отметьте, что кривая арифметического математического ожидания задается линейной функцией. Любая сделка может принести убыток, который отбросит нас назад (времен­но) от ожидаемой линии. В такой ситуации есть предел проигрыша по сделке. Так как наша линия всегда выше, чем самая большая сумма, которую можно проиг­рать за сделку, мы не можем обанкротиться сразу. Однако длинная проигрышная полоса может отбросить нас достаточно далеко от этой линии, и мы не сможем продолжить торговлю, то есть обанкротимся. Вероятность подобного развития событий уменьшается с течением времени, когда линия ожидания становится выше. Уравнение риска банкротства позволяет рассчитать вероятность банкрот­ства еще до того, как мы начнем торговать по выбранной системе. Если бы мы торговали в такой системе на основе фиксированной доли счета, линия загибалась бы вверх, становясь после каждой сделки все круче. Однако проигрыш всегда сопоставим с тем, насколько высоко мы находимся на линии. Таким образом, вероятность банкротства не уменьшается с течением времени. В теории, однако, риск банкротства при торговле фиксированной долей счета мож­но сделать равным нулю, если торговать бесконечно делимыми единицами. К ре­альной торговле это не применимо. Риск банкротства при торговле фиксирован­ной долей счета всегда немного выше, чем в этой же системе при торговле на ос­нове постоянного количества контрактов. В действительности, нет верхнего предела суммы, которую вы можете проиг­рать за одну сделку; кривые состояния счета могут снизиться до нуля за одну сделку независимо от того, насколько высоко они расположены. Таким обра­зом, если мы торгуем бесконечно долгий период времени инструментом с нео­граниченной ответственностью, постоянным количеством контрактов или фиксированной долей счета, риск банкротства составляет 1. Банкротство гаран­тировано. Единственный способ избежать такого развития событий — поста­вить ограничение на максимальный проигрыш. Этого можно достичь, исполь­зуя опционы, когда позиция относится в дебет (если трейдер платит за премию больше, чем получает, то разница между уплаченной и полученной суммами на­зывается «дебет») [18] .

Модели ценообразования опционов

Представьте себе базовый инструмент (акция, облигация, валюта, товар и т.д.), цена которого движется вверх или вниз на 1 тик каждую последующую сделку Если мы будем измерять возможную стоимость акции через 100 тиков и рассмот­рим большое количество вариантов, то обнаружим, что полученное распределе­ние результатов — нормальное. Поведение цены в данном случае будет напоми­нать падение шарика через доску Галтона. Если рассчитать цену опциона, исходя из того принципа, что прибыль при покупке или продаже опционов должна быть равна нулю, мы получим биномиальную модель ценообразования опционов (или, коротко, биномиальную модель). Ее иногда также называют моделью Кокса-Росса-Рубинштейна в честь ее разработчиков. Такая цена опциона основывается на его ожидаемой стоимости (его арифметическом математическом ожидании), с тем расче­том, что вы не получаете прибыль, покупая или продавая опцион и удержи­вая его до истечения срока. В этом случае говорят, что опцион справедливо оценен.

Мы не будем углубляться в математику биномиальной модели, а рассмотрим модель фондовых опционов Блэка-Шоулса и модель опционов на фьючерсы Блэ-ка. Вам следует знать, что кроме вышеперечисленных трех моделей есть другие действующие модели ценообразования опционов, которые мы не будут рассмат­ривать, хотя концепции, описанные в этой главе, применимы ко всем моделям ценообразования опционов. Для более подробного изучения математической ос­новы моделей я могу порекомендовать книгу Шелдона Нейтенберга (Volatility and Pricing Strategies by Sheldon Natenberg). Математика модели фондовых опционов Блэка-Шоулса и модели опционов на фьючерсы Блэка, которые мы будем рас­сматривать, взята из книги Нейтенберга. Тем читателям, которые желают больше узнать о концепции оптимального f и опционах, я советую прочитать фундамен­тальный труд Нейтенберга.

Давайте обсудим модель ценообразования фондовых опционов Блэка-Шоулса (далее Блэк-Шоулс). Модель названа в честь ее создателей: Фишера Блэка из Чикагского университета и Мирона Шоулса из M.I.T; впервые она была описана в 1973 году (May — June 1973 Journal of Political Economy). Блэк-Шоулс считается предельной формой биномиальной модели. В биномиальной модели нужно за­дать число тиков, определяющее движение вверх или вниз, прежде чем будет за­фиксировано возможное значение цены. Далее следует небольшая диаграмма, которая поясняет эту мысль.

Текущая цена на первом шаге может пойти в 2-х направлениях. На втором шаге в 4-х направлениях. В биномиальной модели для расчета справедливой цены опци­она вы должны заранее определить, сколько всего периодов использовать. Блэк-Шоулс считается предельной формой биномиальной модели, так как допускает бесконечное число периодов (в теории), то есть Блэк-Шоулс подразу­мевает, что эта небольшая диаграмма будет расширяться до бесконечности. Если вы определите справедливую цену опциона по Блэку-Шоулсу, то получите тот же ответ, что и в случае с биномиальной моделью, если число периодов, используе­мых в биномиальной модели, будет стремиться к бесконечности. (Тот факт, что Блэк-Шоулс является предельной формой биномиальной модели, подразумева­ет, что биномиальная модель появилась первой, но на самом деле сначала появи­лась именно модель Блэка-Шоулса). Справедливая стоимость фондового колл-опциона по Блэку-Шоулсу рассчи­тывается следующим образом:

а пут-опциона:

где С = справедливая стоимость колл-опциона;

Р = справедливая стоимость пут-опциона;

U = цена базового инструмента;

Е = цена исполнения опциона;

Т = доля года, оставшаяся до истечения срока исполнения выраженная десятичной дробью [19] ;

V= годовая волатильность в процентах;

R = безрисковая ставка;

1п = функция натурального логарифма;

N = кумулятивная нормальная функция распределения вероятностей, задаваемая уравнением (3.21).

Для акций, по которым выплачиваются дивиденды, необходимо скорректировать переменную U и отразить текущую цену базового инструмента с учетом стоимос­ти ожидаемых дивидендов:

где Ц = ожидаемая выплата дивиденда 1;

W. = время (доля года, выраженная десятичной дробью) до выплаты L

Модель Блэка-Шоулса позволяет точно рассчитать дельту, то есть первую про­изводную цены опциона. Это мгновенная скорость изменения опциона по отно­шению к изменению U (цены базового инструмента):

(5.05) Дельта колл-опциона = N(H)

(5.06) Дельта пут-опциона = -N(-H)

Эти коэффициенты будут очень важны в Главе 7, когда мы будем рассматривать страхование портфеля.

.

Блэк сделал модель применимой к опционам на фьючерсы, механизм операций с которыми аналогичен операциям с акциями [20] . Модель ценообразования опцио­нов на фьючерсы Блэка аналогична модели фондовых опционов Блэка-Шоулса за исключением переменной Н:

При использовании модели для фьючерсов коэффициент дельта рассчитыва­ется следующим образом:

(5.08) Дельта колл-опциона = EXP(-R * Т) * N(H)

(5.09) Дельта пут-опциона =– EXP(-R * Т) * N(-H)

Для примера рассмотрим опцион, который имеет цену исполнения 600. Теку­щая рыночная цена базового инструмента равна 575, а годовая волатильность составляет 25%. Мы будем использовать модель опционов на фьючерсы, 252-дневный год и безрисковую ставку 0%. Далее мы допустим, что дата истечения опциона — 15 сентября 1991 года (910915), а текущая дата — 1 августа 1991 года (910801).

Сначала рассчитаем переменную Т, а затем преобразуем 910801 и 910915 в их юлианские эквиваленты. Для этого мы должны использовать следующий алгоритм.

1. Задайте переменные 1, 2 и 3, которые будут определять год, месяц и день, соответственно. Для нашего примера — это 1991, 8 и 1.

2. Если переменная 2 меньше 3 (январь или февраль), тогда переменная 1 будет равна значению года минус 1, а переменная 2 будет равна значению месяца плюс 13.

3. Если значение переменной 2 больше, чем 2 (март или дальше), тогда переменная 2 будет равна значению месяца плюс 1.

4. Задайте переменную 4, которая будет рассчитываться следующим образом:

5. Задайте переменную 5, которая будет равна целой части произведения чис­ла 0,01 и переменной 1:

Математически:

V5=INT(0,01*V1)

6. Рассчитаем юлианскую дату:

Юлианская дата = V4 + 2 - V5 + INT(0,25 * V5) Преобразуем дату 910901 в юлианскую:

Шаг 1. VI = 1991, V2 = 8, V3 = 1.

Шаг 2. Так как наш месяц в этом примере идет за январем и февралем, то этот шаг не применяется.