Чтение онлайн

Затем Галилей несколько усложняет чертеж, введя горизонтальные отрезки OD и РЕ, представляющие максимальную скорость, приобретенную телом к моменту D и Е соответственно. Для доказательства теоремы он пользуется сперва правилом средней скорости. Слегка модернизируя запись и введя vDcp и vEср, обозначающие соответственно среднюю скорость движения к моменту D и Е, получаем: MH=vEср•AE, H=vDcp•AD; откуда MH/LH =

(vEср/vDcp)•(AE/AD), но

и последнее отношение равно: PE/OD = AE/AD, т. е. скорости пропорциональны времени движения; тогда, с одной стороны, MH/LH = (vEср/vDcp)•(AE/AD), а с другой (vEср/vDcp) = PE/OD = AE/AD.

Комбинируя эти две пропорции, получаем: MH/LH = (AE/AD)• (AE/AD) = AE2/AD2, «следовательно, расстояния относятся, как квадраты промежутков времени, что и требовалось доказать».

После этого легко доказывается, что если «скорость возрастает в равные промежутки времени как простой ряд последовательных чисел, то расстояния, пройденные за те же промежутки времени, относятся между собой как последовательные нечетные числа» [16, II, с. 251]. Этот результат, который Галилей приписывает исключительно себе, на самом деле был получен ранее средневековыми физиками, но они опять же не применяли его к исследованию реального движения и не увидели в нем квадратичного закона падения, легко из этого результата получаемого.

Дальнейшие беседы Третьего дня касаются проблемы движения тел по наклонной плоскости, и получающиеся результаты являются следствиями установленного ранее закона падения. Среди них имеются два замечательных утверждения, первое из которых относится к проблеме наискорейшего спуска — одной из наиболее знаменитых задач конца XVII в., а второе содержит наиболее близкую к современной формулировку принципа инерции. Задача наискорейшего спуска может быть сформулирована так: по какой траектории, соединяющей две точки, находящиеся на разных высотах, должно двигаться тело, чтобы переместиться из верхней точки в нижнюю за минимальное время? Постановка и решение этой проблемы положили начало вариационному исчислению. Инфинитезимальными методами было показано, что брахистохроной, т. е. линией наискорейшего спуска, будет не отрезок прямой, соединяющей обе точки, а проходящая через них циклоида. Решение было получено благодаря усилиям самых выдающихся математиков эпохи, включая Иоганна (в первую очередь) и Якоба Бернулли, Лейбница, Лопиталя, Гюйгенса и Ньютона. Галилей близко подошел к правильному результату и в замечании к теореме XXII указал, «что быстрейшее движение от одной конечной точки до другой происходит не по кратчайшей линии, какой является прямая» [16, II, с. 300]. Без помощи методов дифференциального исчисления он, естественно, не мог установить, что траекторией спуска является дуга циклоида, вместо этого он говорит о дуге окружности.

Другое замечание, содержащееся в задаче IX, еще более интересно. Оно касается существа понятия движения и гласит, «что степень скорости, обнаруживаемая телом (при движении) ненарушимо лежит в самой его природе, в то время как причины ускорения или замедления являются внешними» [16, II, с. 282]. Это утверждение определяет фундаментально новый подход к проблеме движения и покоя, получивший в дальнейшем исчерпывающую разработку в трудах Декарта и Ньютона. До сих пор покой и движение рассматривались как категории, имеющие различный онтологический статус, покой понимался как состояние, естественное для тела и не нуждающееся ни в какой внешней причине. Напротив, движение всегда подразумевало внешнюю причину, необходимо его обусловливавшую. «Естественные» движения надлунных сфер Аристотеля не идут в расчет, поскольку для земной физики они всегда являлись недостижимой абстракцией. Разрушение Галилеем дихотомии земной и небесной физики, естественных и насильственных движений неизбежно должно было привести к изменению точки зрения на движение как таковое. В процитированном выше утверждении Галилея это продемонстрировано с наибольшей ясностью: равномерное движение — так можно перефразировать его слова — ненарушимо лежит в природе тела (этим самым равномерному движению придается тот же онтологический статус, что и покою), в то время как внешние причины могут вызывать ускорение или замедление тела (в этом соблазнительно усмотреть предпосылки ньютоновой концепции силы.

Центральный результат Четвертого дня «Бесед» — закон параболического движения снаряда. Благодаря открытиям Дрейка мы знаем теперь, что Галилей пришел к формулировке этого закона еще в 1608 г., однако, по-видимому, лишь много лет спустя он обрел в его глазах концептуальную доказательность. Косвенным подтверждением этого факта может служить известный отрывок из «Диалога», в котором Галилей утверждает, что падающее тело будет описывать полуокружность, оканчивающуюся в центре Земли. Правда, необходимо отметить, что, поскольку построение полуокружности в данном месте «Диалога» играло второстепенную роль, Галилей мог выбрать окружность из соображений большей простоты и наглядности, с другой стороны, у Галилея никогда не было законченной концептуальной механической системы, и поэтому, естественно, что он мог вводить в обсуждение различные доказательства, часто и не согласующиеся между собой. Наконец, «Диалог» в гораздо большей степени был пропагандистским трактатом, чем «Беседы», где главный акцент делался на математическое доказательство, а не на красноречивое убеждение. Различие между двумя книгами хорошо определил Лодовико Джеймонат, сказав, что «Беседы» «в отличие от „Диалога" не являются манифестом коперниканства, скорее они являются трудом, написанным целиком в рамках нового коперниканского направления науки, углубляющим ее основы и расширяющим ее применение» [12, с. 177].

В Четвертом дне «Бесед» Галилей дает ясные и исчерпывающие формулировки тех принципов, которые косвенно или неявна содержатся в дискуссиях «Диалога». В теореме II он постулирует принцип независимости и сложения движений: «Если какое-либо тело движется равномерно двойственным образом, а именно, горизонтально и вертикально, то импульс, или момент его сложного движения равен в потенции совокупности моментов первоначальных движений» [16, II, с. 315]. Выражение «равен в потенции», очевидно, соответствует временному «равен геометрической сумме», поскольку Галилей снабжает доказательства данного утверждения рисунком, изображающим векторный треугольник. Тот же принцип применяется им и для сложения неравномерного движения с равномерным, причем здесь также утверждается, «что такие движения и скорости слагаются, но не мешают друг другу» [16, II, с. 309]. Это положение кажется Галилею настолько фундаментальным, что он вначале постулирует его для смешанных движений, и лишь потом — для равномерных. Поэтому основной результат дня содержится в самой первой теореме: «Теорема I. Предложение I. При сложном движении, слагающемся из равномерного горизонтального и естественно-ускоренного движений, бросаемое тело описывает полупараболу» [16, II, с. 305].

Галилей пришел к этому выводу давно, но тем не менее, он: еще долго не решался его опубликовать, так как теоретическая основа закона была ему не вполне ясна. В «Диалоге» он основывается на довольно туманном тезисе из анализа неделимых, который даже ему самому не кажется убедительным, и не дает ясной формулировки. Но он отчетливо понимал всю важность своего открытия и столь ревниво относился к вопросу о приоритете. «Диалог» был закончен в январе 1630 г., а два года спустя, одновременно с выходом его в свет, Кавальери опубликовал правильный закон движения снаряда в своей книге «Зажигательное зеркало» (Болонья, 1632). Галилей был совершенно вне себя, как показывает его письмо к Чезаре Марсили:

«Не скрою от вашего превосходительства, что известие едва ли меня обрадовало — видеть, что первый плод более, чем сорокалетних трудов, большую часть которых я открыл под большим секретом вышеназванному Отцу (т. е. Кавальери.— В. К.), должен быть отнят у меня, и что я лишен той славы, которую я столь страстно желал и надеялся получить после столь долгих усилий; ибо действительно первым моим намерением, которое привело меня к размышлению над движением, было найти эту линию, и хотя я смог продемонстрировать это, я знаю, как много несчастий я претерпел, прежде чем прийти к этому выводу» [28, III, с. 1278]. Кавальери был чрезвычайно огорчен, что он явился причиной столь резкого неудовольствия, выраженного его учителем, и немедленно написал, что, во-первых, он многим обязан Галилею и Кастелли, о чем он неоднократно говорит в этой книге, экземпляр которой он послал Галилею, во-вторых, каждому известно, что открытие параболической траектории принадлежит Галилею, и сам Кавальери был убежден, что тот уже давно опубликовал свое открытие, почему он и упомянул об этом в «Зажигательном зеркале». Галилей удовлетворился ответом Кавальери, и таким образом конфликт был улажен. Отношения были полностью восстановлены, и в «Беседах» уже говорится о Кавальери как о новом Архимеде.

Тем не менее вся эта история показывает, насколько высоко ценил Галилей открытие параболической траектории и какую важность он ему придавал в эволюции своего творчества.

Беседы Четвертого дня интересны еще и тем, что в них совершенно корректно, хотя и неявно, используется принцип инерции. Проблема, связанная с оценкой роли Галилея в создании принципа инерции, занимала многих ученых, и она остается открытой до сих пор. Действительно, в разных местах Галилей давал этому принципу противоречивые формулировки и само понятие инерциального движения трактовал по-разному.

В «Диалоге» он, по-видимому, считает инерционным движением движение по окружности с центром в центре Земли: «...к движению, не удаляющемуся от центра и не приближающемуся к центру, тело не имеет ни склонности, ни сопротивления, а следовательно, нет и причины для уменьшения вложенной в него силы» [16, I, с. 248].

В этой формулировке неявно содержатся два предположения: считается, что тело движется, во-первых, в отсутствие внешних движущих сил, а также сил сопротивления; во-вторых,— благодаря внутренней силе наподобие средневекового импетуса.