Чтение онлайн

В XIX веке ситуация стала уже критической, и несколько математиков предприняли попытку разобраться с тем, что же такое бесконечное множество. Одним из этих математиков был Георг Кантор. Ему принадлежит разработка теории множеств, которая легла в основу всего современного здания математики.

Но Кантор поставил перед собой задачу — ни много ни мало — познания Бога через познание бесконечных множеств. Для Кантора актуальная бесконечность, точно так же как и для Достоевского, являлась непосредственным свидетельством бытия Бога. Кантор никогда не задавался вопросом, нельзя ли обойтись без актуальной бесконечности (как, например, его современник и яростный оппонент Леопольд Кронекер). Кантор построил так называемую шкалу трансфинитных чисел, которые в отличие от финитных — обычных — чисел являлись значениями мощности бесконечных множеств. Так, например, мощность множества натуральных чисел (самая «маленькая» бесконечность) обозначалась первым символом еврейского алфавита — Алеф нуль.

Исследователь творчества Кантора В. Н. Катасонов пишет: «Кантор видел в шкале трансфинитных чисел некоторый символ вечности и приводил строку из стихотворения швейцарского натуралиста и поэта XVIII века Альбрехта фон Галера: „я его (чудовищно огромное число) отнимаю, а ты (вечность) лежишь целая передо мной”. Религиозно-мистические импликации были для Кантора устойчивым фоном его научной деятельности. <...> Кантор понимал свою профессиональную деятельность одновременно и как выполнение определенной религиозной миссии — донести до человечества истину о трансфинитных числах, содержащихся в уме Бога. Дж. Даубен утверждает и нечто большее: „В конце концов, Кантор рассматривал трансфинитные числа как ведущие прямо к Абсолюту, к единственной ‘истинной бесконечности‘, величину которой невозможно ни увеличить, ни уменьшить, а только представить как абсолютный максимум, непостижимый в пределах человеческого понимания”. Шкала трансфинитных чисел оказывается в этом смысле своеобразной лестницей на небо, лестницей, ведущей к самому Абсолюту <...> Именно поэтому, считает Даубен, Кантора и не смущали появляющиеся парадоксы теории множеств. Ведь речь шла о божественной Истине, во всей полноте понятной только божественному Уму. Для человеческого же ума, пытающегося схватить эту божественную бесконечность, неизбежно было впадать в противоречия и антиномии...»20

Но не только необходимость работать с таким противоречивым объектом, как актуальная бесконечность, приводила математиков к тому, чтобы искать обоснование если не прямо бытия Бога, то некоторых идеальных сущностей. Уже в конце XX века в математике стала вырабатываться система взглядов, которая была названа «математический платонизм». Один из наиболее последовательных ее приверженцев, нобелевский лауреат по физике Роджер Пенроуз писал: «Насколько реальны объекты математического мира? Некоторые считают, что ничего реального в них быть не может. Математические объекты суть просто понятия, они представляют собой мысленные идеализации, созданные математиками — часто под влиянием внешних проявлений и кажущегося порядка окружающего нас мира; но при этом они — всего лишь рожденные разумом абстракции. Могут ли они представлять собой что-либо, кроме просто произвольных конструкций, порожденных человеческим мышлением? И в то же время эти математические понятия часто выглядят глубоко реальными и эта реальность выходит далеко за пределы мыслительных процессов любого конкретного математика. Тут как будто имеет место обратное явление — человеческое мышление как бы само оказывается направляемым к некой внешней истине — истине, которая реальна сама по себе и которая открывается каждому из нас лишь частично <...> Что такое математика — изобретение или открытие? Процесс получения математических результатов — что это: всего лишь построение не существующих в действительности сложных мысленных конструкций, мощь и элегантность которых способна обмануть даже их собственных изобретателей, заставив их поверить в „реальность” этих не более чем умозрительных построений? Или же математики действительно открывают истины уже где-то существующие, чья реальность в значительной степени независима от их деятельности? Я думаю, что читателю должно стать уже совершенно ясно, что я склонен придерживаться скорее второй, чем первой точки зрения, по крайней мере в отношении таких структур, как комплексные числа или множество Мандельброта»21 .

Достоевский относится к математическим объектам так же, как Пенроуз, — он принимает реальность бесконечности, он видит треугольник Лобачевского. Достоевский стремится к последней строгости и аксиоматической точности в рассуждении. Но он остается художником, и его последнее доказательство — это убедительнейшая демонстрация своей правоты в слове, многозначном, ветвящемся, задевающем такие глубины, куда математике входа уже нет.

1 В тексте романа «Братья Карамазовы» имя «Эвклид» и производные от него определения пишутся через «э». В математических текстах такое написание практически не встречается. За исключением прямых цитат из текста романа я буду придерживаться более привычной формы написания имени греческого математика III века до Р. Х.: Евклид.

2 Кант И. Критика чистого разума. Введение. III. Для философии необходима наука, определяющая возможность, принципы и объем всех априорных знаний. Здесь и ниже цит. по кн.: Кант И. Критика чистого разума. М., «Мысль», 1994, стр. 41.

3 Кант И. Критика чистого разума. Введение. III. Для философии необходима наука, определяющая возможность, принципы и объем всех априорных знаний.

4 Гегель. Наука логики. В 3-х томах, т. 1. М., «Мысль», 1970, стр. 313 — 318.

5 Достоевский Ф. М. Собрание сочинений в 15-ти томах, т. 9. Л., «Наука», стр. 264. Цитаты из Ф. М. Достоевского (кроме специально оговоренных) в дальнейшем приводятся по этому изданию с указанием тома и страницы.

6 Достоевский Ф. М. Полн. собр. соч. в 30-ти томах. Л., «Наука», т. 28, кн. 1, стр. 176. Курсив Достоевского.

7 Там же, т. 20, стр. 171 — 172. Записные книжки 1863 — 1864 гг. Курсив Достоевского.

8 Цит. по кн.: Монастырский М. И. Бернхард Риман. Топология. Физика. М., «Янус-К», 1999, стр. 34.

9 В октябре 1834 года в № 41 журнала «Сын Отечества» была опубликована критиче­ская рецензия на работу Лобачевского «О началах геометрии», подписанная С. С. Рецензент писал: «Как можно подумать, чтобы г-н Лобачевский, ординарный профессор математики, написал с какою-нибудь серьезною целию книгу, которая не много бы принесла чести и последнему приходскому учителю? Если не ученость, то по крайней мере здравый смысл должен иметь каждый учитель, а в новой геометрии нередко недостает и сего последнего». В заключение предлагалось назвать книгу Лобачевского «Карикатура на геометрии». (Цит. по кн.: Лаптев Б. Л. Н. И. Лобачевский и его геометрия. М., «Просвещение», 1976, стр. 22.) Высказывание рецензента характеризует не только «здравый смысл» как набор за­тверженных истин, каждая из которых сама по себе может быть совсем не очевидной, а только лишь привычной, но и уровень русских журналов, предназначенных для широкой публики, на страницах которых обсуждались новейшие математические исследования. Сегодня я не могу представить себе общественно-политический журнал, который всерьез обсуждал бы какую-либо математическую работу четырехлетней давности.

10 Существует полулегендарное свидетельство о том, как Альберт Эйнштейн отозвался о Достоевском. Константин Кедров пишет: «Об этом свидетельствуют воспоминания А. Мошковского об Эйнштейне: „Достоевский! — Он повторил это имя несколько раз с особенным ударением. И, чтобы пресечь в корне всякое возражение, он добавил: — Достоевский дает мне больше, чем любой научный мыслитель, больше, чем Гаусс!”». (Цит. по книге К. Кедрова «Параллельные миры», М., «АиФ-Принт», 2001, стр. 202.) Конечно, великий писатель не может не повлиять на любого чуткого читателя. Но все-таки прямое сравнение с Гауссом говорит, по-видимому, о направленном влиянии. Гаусс был одним из создателей неевклидовой геометрии наряду с Лобачевским и венгерским математиком Яношем Бойяи (1802 — 1860). Лобачевский опубликовал свои резуль­таты первым. В созданной Эйнштейном Специальной Теории Относительности геометрия пространства-времени (пространства Минковского) почти евклидова (точнее: псевдоевклидова), но уже в Общей Теории Относительности рассматривается неевклидова геометрия с неустранимой кривизной. Быть может, Эйнштейн увидел у Достоев­ского, подсказанную мысленным экспериментом Ивана Федоровича, саму возможность построения другой аксиоматики пространства-времени.

11 Цит. по кн.: Ивин А. А. Логика. Учебник для гуманитарных факультетов. Глава 7 «Логика высказываний», п. 3 «Закон исключенного третьего». М., «Гранд», 1999, стр. 144.

12 Иван предложил и другую картину мироустройства. Люди, окончательно убедившись в отсутствии Бога, не бросятся во все тяжкие, а, напротив, станут друг друга любить и охранять, как сироты. Сюжет поэмы «Геологический переворот» напоминает Ивану его ночной собеседник — и тут же демонстрирует недостижимость той идеальной картины мира, которую нарисовал Иван в своей поэме. Говоря языком математики, нарисованная Иваном картина неустойчива по отношению к малым колебаниям — к опережающему осталь­ных «прозрению» хотя бы одного «нового человека». «По-моему, и разрушать ничего не надо, а надо всего только разрушить в человечестве идею о Боге, вот с чего надо приняться за дело! С этого, с этого надобно начинать — о слепцы, ничего не понимающие! Раз человечество отречется поголовно от Бога (а я верю, что этот период — параллель геологическим периодам — совершится), то само собою, без антропофагии, падет всё прежнее мировоззрение и, главное, вся прежняя нравственность, и наступит всё новое <…> Всякий узна­ет, что он смертен весь, без воскресения, и примет смерть гордо и спокойно, как бог. Он из гордости поймет, что ему нечего роптать за то, что жизнь есть мгновение, и возлюбит брата своего уже безо всякой мзды. Любовь будет удовлетворять лишь мгновению жизни, но одно уже сознание ее мгновенности усилит огонь ее настолько, насколько прежде расплывалась она в упованиях на любовь загробную и бесконечную… Вопрос теперь в том, думал мой юный мыслитель: возможно ли, чтобы такой период наступил когда-нибудь или нет? Если наступит, то всё решено, и человечество устроится окончательно. Но так как, ввиду закоренелой глупости человеческой, это, пожалуй, еще и в тысячу лет не устроится, то всякому, сознающему уже и теперь истину, позволительно устроиться совершенно как ему угодно, на новых началах. В этом смысле ему „всё позволено”. Мало того: если даже период этот и никогда не наступит, но так как Бога и бессмертия все-таки нет, то новому человеку позволительно стать человеко-богом, даже хотя бы одному в целом мире, и, уж конечно, в новом чине, с легким сердцем перескочить всякую прежнюю нравственную преграду прежнего раба-человека, если оно понадобится. Для бога не существует закона! Где станет бог — там уже место божие! Где стану я, там сейчас же будет первое место... „всё дозволено”, и шабаш!» (т. 10, стр. 155).

13 Рассел Бертран. Почему я не христианин. М., 1987, стр. 292.

14 Успенский В. А. Труды по нематематике. В 2-х томах, т. 1. М., ОГИ, 2002, стр. 95.

15 Чёрч А. Введение в математическую логику. М., «Издательство иностранной литературы», 1960, стр. 48 — 49.

16 Когда А. А. Фридман получил свои решения уравнений Эйнштейна в виде модели расширяющейся Вселенной, то Эйнштейн эти решения не принял: он был убежден, что Вселенная стационарна.

17 Здесь и далее я следую изложению классика деонтической логики Георга Хенрика фон Вригта в его работе «О логике норм и действий» (Вригт Г.-Х. фон. Логико-философ­ские исследования. Избранные труды. Перевод с английского. М., «Прогресс», 1986, стр. 246 — 247).

18 Здесь речь, вероятно, идет о максимальном треугольнике на плоскости Лобачевского. В зависимости от кривизны (плоскость Лобачевского имеет постоянную отрицательную кривизну, она подобна поверхности однополосного гиперболоида) максимальный треугольник имеет различную площадь, но такой треугольник всегда существует. На евклидовой плоскости максимального треугольника, естественно, быть не может — всегда можно по­строить треугольник все большей и большей площади. На плоскости Лобачевского максимальный треугольник одна из самых неожиданных фигур — вершины этого треугольника удалены на бесконечность. Его стороны — параллельны (они пересекаются только в бесконечности) и все углы равны нулю.