Чтение онлайн

Безрисковая компонента – это дисконтированная величина всех дивидендов, которые будут выплачены по этой акции до момента исполнения опциона. Сделав предположение о будущих дивидендах и отняв их от сегодняшней цены, можно найти рисковую компоненту. Цена опциона на такую акцию вычисляется как цена опциона на рисковую компоненту. В этом случае мы подставляем в формулу Блэка – Шолца вместо S величину рисковой компоненты. Если DVD (discounted value of dividends) – дисконтированное значение всех дивидендов, выплачиваемых по акции в период действия опциона, то рисковая компонента равна S – DVD.

Если рассматривать опционы на индекс, то выплата дивидендов по акциям, входящим в этот индекс, происходит довольно часто. В этом случае с большой степенью точности можно считать, что дивиденты выплачиваются непрерывно.

Пусть нам нужно вычислить цену европейского колл-опциона на акции компании ААА, по которым непрерывно начисляются дивиденды по ставке q, и текущая цена которых S1. Через время Т, т. е. в момент исполнения опциона, средняя ожидаемая цена акции ААА будет не erT (как было бы в случае отсутствия дивидендов), а e(r – q)T.

Рассмотрим дополнительно акции идентичной компании ВВВ, по которым не выплачиваются дивиденды, и текущая цена которых S1 x e–qT. Через время T средняя ожидаемая цена акции ВВВ будет равна S1 x e–qT x erT = S1 x e(r – q)T, т. е. акции в среднем будут стоить одинаково, а поскольку компании идентичны, то отклонение цены их акций от среднего значения также будет одинаковым.

Следовательно, в момент исполнения опциона акции будут иметь одинаковую стоимость, а значит, исполнение опционов на эти акции с одинаковыми страйками должно либо принести одинаковую прибыль, либо не принести прибыли одновременно.

При условии безарбитражности рынка на текущий момент времени европейский опцион с одним и тем же страйком на обе акции стоит одинаково, и его цена может быть вычислена по формуле Блэка – Шолца для акции без дивидендов после подстановки в нее S1 x e–qT вместо S.

Итак, C1 – цена опциона колл на акцию с дивидендами имеет следующий вид:

Величины d1 и d2 находятся из следующих равенств:

4. Цена опциона пут. Формула паритета пут/колл

Пока мы рассматривали только опцион колл. Теперь перейдем к рассмотрению опциона пут. Владелец опциона пут имеет право в определенный момент времени продать актив по заранее оговоренной цене. Как и в случае опциона колл, владелец может не исполнять опцион, если его исполнение для него невыгодно.

При расчете премии, выплачиваемой по опциону пут на акцию без дивидендов, можно использовать формулу паритета пут/Колл (put/call parity). Эта формула описывает зависимость между величинами премии по опционам пут и Колл на один и тот же базовый актив, имеющим одинаковый страйк K и время до исполнения Т.

Для вывода зависимости рассмотрим два портфеля.

Первый состоит из одного опциона колл и K x e–rT долларов, которые мы вкладываем под процент r на время T.

Второй состоит из одного опциона пут и одной акции.

Рассмотрим стоимость портфелей в момент исполнения опционов при разных значениях цены на акцию в тот момент времени S.

Первый портфель:

S(T) > K.

В этом случае после исполнения опциона мы получим прибыль S(T) – K, а вложенные в начале периода K x e – rT долларов вырастут до K долларов. Следовательно, стоимость портфеля равна

S(T) – K + K = S(T),

S(T) < K.

В этом случае исполнение опциона невыгодно. Следовательно, стоимость портфеля равна стоимости денег, т. е. K.

S(T) = K.

В этом случае при исполнении и при неисполнении опциона мы получаем одинаковую сумму: S(T) = K.

Второй портфель:

S(T) > K.

В этом случае продажа акции по цене K невыгодна, так как текущая цена выше. Стоимость портфеля равна стоимости одной акции, т. е. S.

S(T) < K.

В этом случае мы исполняем опцион и продаем акцию по цене K, которая выше текущего курса. Стоимость портфеля равна K.

S(T) = K.

В этом случае при исполнении и при неисполнении опциона мы получаем одинаковую сумму: S(T) = K.

Нетрудно заметить, что в момент исполнения опционов оба портфеля имеют одинаковую стоимость при любом значении цены акции. Условие безарбитражности рынка позволяет сделать вывод, что и в данный момент оба портфеля должны стоить одинаково, т. е.

C + K x e–rT = P + S.

Здесь

S – текущая цена акции;

K – цена исполнения опционов;

C – стоимость опциона колл;

P – стоимость опциона пут.

Полученное равенство называется формулой паритета колл/пут.

Исходя из нее, получаем, что цена опциона пут на акцию без дивидендов равна:

P = K x e–rT x N(–d2) – S x N(–d1),

где d1 и d2 такие же, как в формуле для цены опциона колл на акцию без дивидендов.

Если на акцию начисляются дивиденды по ставке q, то цена опциона пут равна:

P1 = K x e–rT x N(–d2) – S x e – q T x N(–d1),

где d1 и d2 такие же, как в формуле для цены опциона колл на акцию с непрерывно начисляемыми дивидендами.

Вопросы

1) Рассматривается акция, по которой непрерывно начисляется дивиденд по ставке q = 5 %. Текущая цена акции $50, волатильность 60 %, непрерывно начисляется безрисковая ставка 7 %. Найдите вероятность исполнения трехмесячного европейского опциона колл на эту акцию в случаях, когда цена исполнения составляет $40 и $60.

2) Инвестор приобрел 5 полугодовых европейских опционов колл на акцию, по которой не выплачиваются дивиденды. Определите средние затраты инвестора по исполнению опциона колл, если известны следующие данные: