Чтение онлайн

• цена акции в настоящий момент $50;

• цена исполнения опционов $60;

• волатильность акции и безрисковая ставка на следующие полгода равны 70 % и 8 % соответственно.

3) Рассмотрим трехмесячный опцион колл на акции без дивидендов. Текущая цена акции $50, цена страйк $49, безрисковая ставка – 5 %. Сколько стоит трехмесячный опцион пут на эту акцию с таким же значением страйк, если опцион колл стоит $5?

Ответы

1) Сначала рассмотрим опцион с ценой исполнения $40. Вероятность его исполнения равна N(d2).

d2 = [ln(S /K) + (r – q – ??/2) x T] ? [? x ?T] =

= [ln(50 ? 40) + (0,07 – 0,05 – 0,36 ? 2) x 0,25] ? [0,6 x 0,5] =

= [0,223 – 0,04] ? [0,3] = 0,61.

N(d2) = N(0,61) = 0,7291.

Для K = $60 имеем:

d2 = [ln(S /K) + (r – q – ??/2) x T] ? [? x ?T] =

= [ln(50 ? 60) + (0,07 – 0,05 – 0,36 ? 2) x 0,25] ? [0,6 x 0,5] =

= [–0,182 – 0,04] ? [0,3] = –0,74.

N(d2) = N(–0,74) = 0,2296.

2) В случае исполнения опционов инвестор должен будет потратить 5 x $60 = $300 на покупку акций. В случае неисполнения опционов затраты инвестора равны 0. Средние затраты AC (average costs) будут равны затратам на исполнение, умноженным на вероятность исполнения опционов.

AC = 300 x N(d2).

В данной задаче:

S = 50;

K = 60;

r = 8 % = 0,08;

? = 70 % = 0,7;

T = 0,5.

d2 = [ln(S /K) + (r – ??/2) x T] ? [? x ?T] =

= [ln(50 ? 60) + (0,08 – 0,49 ? 2) x 0,5] ? [0,7 x 0,707] =

= [–0,182 – 0,083] /[0,495] = –0,54.

N(d2) = N(–0,54) = 1 – N(0,54) = 0,2946.

AC = 300 x 0,2946 = 88,38.

3) Из паритета пут-Колл P = C + K x e–rT – S = 5 + 49 x e–0,05 x 0,25 – 50 = 5 + 48,39 – 50 = 3,39.

II. «Греки» – параметры, используемые в управлении портфелем

«Греки» (greeks) – производные цены опциона – играют большую роль в теории управления портфелями, состоящими из опционов и акций.

Ниже приведены формулы производных («греков») и объясняется их смысл. Рассмотрен колл-опцион на акции, по которым непрерывно начисляется дивиденд по ставке q. Аналогичные формулы для валютных и фьючерсных опционов могут быть получены путем замены q на соответственно ставку доходности в валюте или ставку безрисковой доходности.

1. Дельта

Дельта (Delta) – производная цены опциона по текущему курсу акций. Она показывает, как изменится стоимость опциона при изменении цены акции на 1 единицу (один рубль, один доллар и т. д.):

delta = dC/dS.

Дельта измеряется в процентах и позволяет составлять портфель, не чувствительный к изменению курса актива при малом изменении цены акции. Такой портфель называют дельта-нейтральным. Например, он может состоять из проданных двух пятидесятидельтовых коллов и купленной акции (2 опциона x 50 %) = 1 акция. Здесь 1 акция страхует (хеджирует) 2 опциона от потерь.

Если цена акции поднимется на 1 руб., то цена двух опционов поднимется также на 1 руб. (1 руб. x 2 x 50 %). Поскольку коллы были проданы, ваши потери составят 1 руб. Но потери будут компенсированы заработком на одной акции, которая подорожает на 1 руб. В итоге стоимость портфеля не изменится.

Дельта широко используется маркетмейкерами. Она позволяет покупать или продавать опционные позиции и немедленно хеджировать эти позиции на рынке базового актива.

Для дельты верна следующая формула:

delta = e–qT x N(d1).

2. Тета

Тета (theta) – производная цены опциона по времени. Она показывает, как цена опциона меняется с течением времени. Для европейского опциона ее значение всегда меньше нуля. Формула theta имеет вид:

theta = e–qT x [(–1) x S x n(d1) x ? ? (2?T) + q x S x N(d1)] – r x K x N(d2) x e–rT.

Здесь n(x) = exp{(–1) x x? ? 2} /?(2?) – плотность стандартного нормального распределения.

Отсюда видно:

• чем выше ставка q и ниже ставка r, тем меньше падает цена опциона с каждым прошедшим днем;

• чем выше волатильность, тем больше падает цена опциона с каждым прошедшим днем.

Тета – очень важный показатель. Она выражает стоимость держания опционной позиции. Инвесторы, держащие опционную позицию в ожидании благоприятного движения цены основного актива, каждый день теряют часть стоимости позиции. Поэтому они должны быть очень внимательны к величине теты.

3. Гамма

Гамма (gamma) – вторая производная цены опциона C по цене актива S. Если дельта – скорость автомобиля, то гамма – его ускорение.

Гамма предсказывает, насколько изменится дельта при изменении S. Чем меньше гамма, тем дельта менее чувствительна к изменению цены. Вернемся к понятию дельта-нейтрального портфеля: он не чувствителен к изменению курса актива при малом изменении цены акции. Если же изменение больше «малого», необходимо некое изменение в размере хеджа (увеличение или уменьшение количества акций), чтобы портфель остался безрисковым.

Для гаммы справедлива следующая формула:

gamma = [n(d1) x e–qT] ? [S x ? x ?T].

Предположим, что dS – изменение цены актива за сравнительно малый отрезок времени dT, а dП – соответствующее изменение цены портфеля. Тогда для дельта-нейтрального портфеля

dП = theta x dT + gamma x dS? ? 2.

Владелец портфеля с положительным значением гаммы (купивший опционы, «длинная гамма») выигрывает при значительных колебаниях цены и проигрывает при небольших изменениях.

Владелец портфеля с отрицательным значением гаммы (продавший опционы, особенно краткосрочные) проигрывает тем больше, чем больше колебание цены. Отсюда следует, что для актива с большой волатильностью выгоднее иметь позицию с положительной гаммой, а для актива с маленькой волатильностью выгоднее иметь позицию с отрицательной гаммой.

4. Взаимосвязь параметров

Все три величины – delta, gamma и theta – взаимосвязаны. Если C – цена опциона, а S – цена актива, то