Чтение онлайн

Актуальная бесконечность античного числа. Можно сколько угодно увеличивать или уменьшать числа в их меонально-низшем определении, т. е. оперируя с количествами 18. В замкнутости же и совершенстве смысловых структур все эти числа, «если их брать самих по себе, не увеличиваемы и не уменьшаемы», ибо как, спрашивается в «Диалектике», на самом деле «можно увеличить или уменьшить тройку?» (86). Для всякого числа «быть ограниченным значит быть самим собой, не растекаться в чувственной беспредельности и быть беспредельно-сущим, бесконечно-мощным в проявлении себя как определенного смысла» (88) — так читаем мы там же вслед за Плотином и Лосевым и должны теперь вспомнить об актуальных бесконечностях в теории множеств. Создатель ее Георг Кантор мечтал применить свои результаты о «точечных множествах» и «порядковых типах многократно упорядоченных множеств» для естественного описания структур как неживых, так и живых объектов и даже «для получения безупречного объяснения природы» 19. Несомненно, ему прибавило бы мужества знакомство с философией Прокла, и в особенности с его представлениями о «мировых чинах» вездесущих «богов-чисел», охватывающих всё существующее (как же, «всё полно богов!») своими числовыми оформлениями — настоящими актуальными бесконечностями разнообразных типов (см.: «Диалектика», 127, 140–143).

Универсальность античного числа. Справедливость античной аксиомы «всё есть Число» усилиями Лосева доказывается самым наглядным и оригинальным образом: сначала на основании трактата VI.6 строится формула числа — «единичность, данная как подвижный покой самотождественного различия» (сократим для дальнейшего — е п с р), а затем посредством этой пятерки базовых категорий выводится неимоверное количество производных конструкций «космологического» характера, причем каждая новая категория, «порожденная числом», по сути дела получена посредством применения специфических операторов над е п п с р. Для примера возьмем оператор «рассматриваемая (ое), как», который можно предварительно и приблизительно назвать оператором «интенсификации» и условно изобразить посредством замены соответствующей строчной буквы на прописную. Тогда начальная стадия конструирования «категориально-идеальной существенности» античного космоса описывается следующим образом: число как потенция = е п п с р; число как эйдос = Е п п с р; множество = е П П с р; топос = е п п С Р 20. Расширив номенклатуру операторов, нетрудно изобразить все «категориальное конструирование» из лосевского «восьмикнижия» в сжатой форме, поразительно напоминающей построения квантовой механики (последняя широко применяет именно язык операторов и представляет свои объекты посредством суперпозиции квантовых состояний). Доставляет глубокое интеллектуальное наслаждение осознание того факта, что Лосев неустанно комбинировал свои «подвижные покои» и «самотождественные различия» как раз в те годы, когда происходило становление упомянутой науки XX века и создавался ее математический аппарат. Заметим еще, что широкое применение языка операторов для описания явлений уже не микро-, а макромира только недавно вошло, например, в статистическую физику (И. Пригожин).

Наконец, синтетически обнимает все перечисленные позиции жизненно-эстетическая функция античного числа. Число пронизывает Вселенную, творит ее Красоту и несет Благо. С числом и через число пролегает Дорога Домой, ибо число, по Плотину, «есть начало, ближайшее к первоединому», оно — «чуть-чуть не само Единое», а по Проклу, содержится даже «в недрах» его (см. «Диалектика», 75, 108, 116–117). И если современный ученый еще только взыскует математики с человеческим лицом 21 в согласии с общей тенденцией гуманитаризации знаний, на челе античной математики, выходит, с давних (еще языческих) пор отобразился лик Божий.

4. Возвращение наглядности

Итак, в античных взглядах на число, как это теперь явственно прочитывается во многом благодаря усилиям Лосева, содержатся предвосхищения многих значительных достижений или тенденций современной науки и, шире, культуры. Потенциальную мощь этого источника духовности понимали и понимают еще немногие, и среди них — Освальд Шпенглер, например. Недаром в главе-зачине его книги «Закат Европы», знаменательно названной «О смысле чисел», диагноз состоянию современной европейской цивилизации ставится, исходя именно из самочувствия современной математики, из понимания мира чисел. И назван основной симптом болезни современности — «опьянение абстрактными формами» — с тем чтобы подчеркнуть отличие от здорового доверия зрению и осязанию у античных математиков, так не хватающего ныне.

Обращение к интуициям античности, в том числе к античной числовой интуиции, может оказаться если не спасительным, то по крайней мере обнадеживающим для современного жизнечувствия. Так после малополезных ухищрений с дорогими антибиотиками вдруг поможет, бывает, настойка из травы, произрастающей возле дома или в придорожной канаве. Для античной математики характерно как раз — наивное ли только? — свойство простоты и пластической наглядности. (Примером античной конкретности мы и закончим.) Предельно ясным воплощением этого свойства могут служить «числа» Еврита, о них упоминает Аристотель и напоминает Лосев в своей «Критике» (163). Сохранилось предание, что упомянутый пифагореец задавался вопросом, какое число исконно присуще какой вещи, и устанавливал «однозначное» соответствие (чем-то странно похоже на метод Кантора по установлению эквивалентности множеств) путем раскладывания камешков по контуру изображения интересующей его вещи, а камешки эти сосчитывались. Теплая оглаженная и нагретая солнцем Эллады материя на ладони Еврита — вот античная феноменология, феноменология «бесконечно более отчетливая» и менее грубая, чем абстракция Аристотеля, — мы снова обратились к тексту «Критики» (86). Конечно, у современной математики нельзя отнять все те достижения «чистой» мысли, что в обычном смысле не представимы наглядно, что созерцаемы только «умственными» очами. Но где-то в самых первородных основаниях ее гнездится, к счастью, неистребимая потребность положить свое творение на ладонь, и тогда… тогда даже сам Хаос может предстать в законченном и вполне обозримом виде, как это случилось, например, после недавней «визуализации» геометрии дробных (верх абстракции!) размерностей — геометрии так называемых фракталов, специально придуманных для характеристики изломанного, иррегулярного мира нестационарных явлений. Диковинным изображением фрактального объекта на экране дисплея современного компьютера возвращаются к нам камешки Еврита. Так сопрягаются новоевропейская отвлеченность и античная наглядность.

3.2. Кантор plus Лосев

(о неединственности натурального ряда чисел)

Известный факт, что число (в широком смысле) занимало фундаментальное место в мировоззрении А.Ф. Лосева, вполне объясняет тот стойкий интерес, с которым он относился к творчеству Георга Кантора, создателя математической теории множеств и реформатора оснований самой математики. Искреннее восхищение достижениями последнего мы можем найти в самых поздних высказываниях Лосева, в пору, когда сам он уже оставил активную деятельность на поприще методологии математики во исполнение долга перед историей античной философии, в пору, когда сама теория множеств предстает классически ясным антиком среди величайших достижений мысли. По-иному отмечены первые десятилетия нашего века, когда Лосев только еще подступал к диалектическому пониманию «очисленности» бытия, а русская культурная общественность начинала осваивать новомодные идеи из области точных наук, и в первую очередь из теории относительности А. Эйнштейна и теории упомянутого немецкого математика 1. Революция 1917 года перечеркнула затем многие начинания, но она же прихотливым образом пощадила это интеллектуальное поветрие и даже особым образом совместила его с новой социальной базой. Наверное, потому среди первых (около 1921 года) литературных опытов Андрея Платонова мы находим «популярные» разъяснения о пролетарской сути движения со скоростью света и энергичное обещание скоро («в один из близких дней») поведать столь же актуальную оценку… да, именно учения Кантора 2. Несколько лет спустя и вдалеке от воронежского паровозного депо, а именно в Москве и усилиями 30-летнего Алексея Лосева готовился коллективный сборник философских исследований «на темы математические, астрономические и механические». Здесь планировалась публикация, среди прочего, статьи Валериана Муравьева «об ипостасийном построении учения о множествах» и работы самого составителя о математических учениях Плотина и Ямвлиха 3. Увы, «философский пароход» 1922 года уже отошел тогда от берегов России, затея «свободного от социологии» обсуждения проблем числа была обречена на провал, а потенциальных авторов сборника дожидалась «трудовая перековка» в сталинской лагерной кузнице. Сейчас остается лишь печалиться по этой невоплотившейся мечте соединения под одной обложкой теорий числа, отделенных временным зиянием в две, без малого, тысячи лет. Можно и порадоваться, что жизнь не всегда обделяла Лосева единомышленниками. К упомянутому В.Н. Муравьеву — ему грезилось торжество «всеобщей производительной математики», с каковым «законы множества станут, вообще, законами природы» 4, — следует обязательно добавить имя П.А. Флоренского. Он также планировался участником в предприятии 1924 года. С канторовской теорией множеств, с ее судьбой на отечественной почве П.А. Флоренский связан уже тем, что ему принадлежало первое на русском языке изложение новых математических идей для широкой публики (имеется в виду статья «О символах бесконечности» в журнале «Новый путь» за 1904 год). И для него, как и для двух других интерпретаторов, был характерен высокий, если не пифагорейский, то уж точно — платонический градус интеллектуальной напряженности взгляда на теорию множеств.

Да, именно таким будет суммарный вывод, если его делать по совокупности многочисленных упоминаний Кантора и его научных результатов в работах «раннего» Лосева: в теории множеств приветствуется прочтение числа глазами Платона. Утверждение это верно уже по букве, ибо для своего учения о трансфинитах Кантор применял как синоним обозначение «теория идеальных чисел» и напрямую определял «множество» как «нечто, родственное платоновскому ????? и ????». Верно оно и по духу, коли математические достижения Кантора оказываются глубже его историко-философских сопоставлений. Так, совершенно ошибочно ставя на одну доску (по взглядам на число) Платона и Аристотеля, сам он противопоставлял число, отнесенное, «согласно его истинному происхождению», к множеству как единосвязному целому, с числом как простым знаком «для единичных вещей, отсчитываемых при субъективном процессе счета» 5, и в противопоставлении этом явно отвергал аристотелевскую теорию абстракции в пользу «ипостасийности» (по Платону) числа. Другой пример: не ведая о глубочайше проработанной символико-числовой диалектике у античных неоплатоников, Кантор своими набросками теории «порядковых типов», похоже, дал некий формальный аналог для мифологических иерархий («чинов») актуально бесконечных богов-чисел в смысле Прокла. Разумеется, такое (задним числом — поздним умом) сопряжение канторовского и платонического подходов к «аритмологии» мы теперь без особой опаски можем делать только после мощного посредничества Лосева.

Как нам представляется, платонизм теории множеств, вместе с необходимыми неоплатоническими модификациями, допустимо обрисовывать по следующим пересекающимся и зависимым направлениям: ипостасийный характер числа как универсальной характеристики упорядоченности произвольного множества; реальность актуальной (завершенной) бесконечности в противовес бесконечности потенциальной (незавершенной или, вернее, незавершаемой); иерархичность актуальных бесконечностей различных типов; диалектическое прочтение отношений «элемента» и «системы», «части» и «целого». Соответствующие темы так или иначе намечены или развиты в ряде лосевских работ 1920-х годов, особо же выделяются здесь «Античный космос и современная наука», «Музыка как предмет логики», «Философия имени». Есть также данные, что в архиве Лосева среди бумаг 1930 — 40-х годов прослеживается дальнейшая разработка тем «диалектики математики». Впредь до момента, когда подводная часть лосевского айсберга станет обозримой благодаря подвигам отечественного книгопечатания, было бы наивно претендовать на полную обрисовку (и уж тем более полное развертывание) намеченных здесь сюжетов. Поэтому мы остановимся далее на некоторой детализации только одной темы — темы актуально бесконечного.

Начать лучше с картинки. Вполне законченный и скорее отталкивающий — а потому и отправляющий к идеям Кантора — образ потенциальной бесконечности дан в 17-м эпизоде «Улисса» Д. Джойса, где читатель вместе с Леопольдом Блумом размышляет о

«существовании числа, вычисленного с относительной степенью точности до такой величины и со столькими знаками <…> что, по получении результата, потребовалось бы 33 тома мелкой печати, по 1000 страниц в каждом, несметное множество дестей и стоп индийской бумаги, чтобы там поместилась вся эта сага цифр <…>, причем ядро туманности каждого знака в каждом ряду таит потенциальную возможность возведения в любую степень любой из его степеней, до наивысшего кинетического развития» 6.

Кантор выступил против этого, даже в карикатурном виде подавляюще-внушительного «наивысшего кинетического развития», по собственному признанию, почти вопреки своим убеждениям и вместе с тем сознательно порывая с господствующей догмой. Фактически в одиночку он не просто ввел «сверхконечное» в математику, но и свершил значительный поступок во имя исторической истины. Своим, если так можно выразиться, независимым экспериментом он подтвердил основательность старинного течения мысли — неоплатонической диалектики числа, для которой понятие актуальной бесконечности носило фундаментальный характер. Конечно же, мимо столь примечательной фигуры Лосев пройти не мог: «случай Кантора» буквально добавлял еще одну важную главу в «Античном космосе и современной науке».

Сделаем одно уточнение, которое позволит уяснить, в чем именно Лосев был солидарен с Кантором и в каком отношении продвинулся дальше 7 него. Дело в том, что создатель теории множеств утверждал в науке только один сорт актуальной бесконечности, а именно «актуально бесконечное большое» — то, что следует за всеми сколь угодно большими конечными числами, то, что трансфинитно, сверхконечно при движении в сторону нарастания абсолютной величины числа. Мы же будем далее иметь в виду весь (условно-гипотетический) спектр актуально бесконечных, а именно «актуально бесконечное большое», «актуально бесконечное малое» и «актуально бесконечное среднее» (если не допускать в последнем случае оксюморон «актуально бесконечное конечное»; впрочем, блоковский «жар холодных числ» — той же природы). Первому элементу из данного списка, как было сказано, Кантор отдал предпочтение 8. Он же неоднократно высказывался и относительно «актуально бесконечного малого» 9, поначалу осторожно, но всегда в отрицательном смысле. Причина этого неприятия носила, возможно, больше психологический характер: ум исследователя, целиком отряженный на борьбу за отстаивание «своей» актуальной бесконечности, просто не умещал другую не менее увесистую ношу. Во всяком случае, известный канторов набросок 10 доказательства несуществования «актуально бесконечного малого» строился именно на идее несовместимости в числовой области двух типов бесконечности. Многие «не поверили» Кантору, и одним из таковых оказался как раз Флоренский, толковавший на страницах своих «Мнимостей в геометрии» о физическом смысле «актуально бесконечно-малой» толщины обычной геометрической плоскости 11. В 1960 — 70-х годах математики, кажется, окончательно освоили эту окраину спектра актуальной бесконечности, создав так называемый нестандартный, или неархимедов анализ. В нем на основе признания «актуально-малого» возникла целая вселенная числовых объектов со своими бесконечно удаленными друг от друга «мирами» и «галактиками» (приведены термины, наполненные строгим математическим смыслом 12). Кстати, глядя на эту новую «арифметическую вселенную», с невольным восхищением и по-новому обнаруживаешь те самые джойсовские «ядра туманности каждого знака». Напомним, что Леопольд Блум припоминал свои экскурсы в математику, озирая бездонное звездное небо. Сколь же прихотливо, надо признать, современная культура сплетена с «Улиссом»!