Чтение онлайн

Как уже было сказано, кардиналы и ординалы в конечной области совпадают, поглощенные единым понятием количества, они присутствуют здесь как бы в потенции, в полную силу разворачиваясь лишь в области бесконечного. Они, выходит, перенесены из бесконечных сфер в область конечного для достижения идейной однородности, для демонстрации слитости общего устройства мира чисел. Кантор сделал еще один чрезвычайно важный перенос, теперь уже распространяя навыки работы с конечными множествами на поприще бесконечного. Он постулировал принципы порождения чисел, одинаково справедливые и в конечном и в бесконечном: с одной стороны, к уже образованному числу всегда можно добавить очередную единицу и, следовательно, можно продолжить ряд чисел по возрастанию; с другой стороны, всякому такому ряду можно выставить некий предел в виде такого числа, которое определяется как первое большее всех чисел данного ряда 25. Со вторым принципом порождения тесно связано еще одно фундаментальное понятие из лосевского перечня — актуальная бесконечность. До Кантора большинство математиков и философов признавало только потенциальную бесконечность, т. е. такую (строго говоря, единственную) бесконечность, которую нельзя «пощупать», нельзя охарактеризовать никаким определенным образом, например, числом. Единственное, что описывает «лик» такой бесконечности, так это ее безликая переменчивость, вечная устремленность куда-то. Потому в потенциальной бесконечности различимо разве что направление перемен, — как определил Кантор, либо рост «сверх всяких конечных границ», либо убывание «ниже всякой конечной границы малости» 26. С принятием же идеи актуально бесконечного (и привлечением вышеизложенного аппарата сравнения множеств) перед создателем теории множеств открылось нечто головокружительное: существует не одна-единственная бесконечность, да и то какая-то сомнительная, но целая иерархия бесконечностей различных классов 27, причем эта иерархия поддается достаточно строгому описанию. Открылась необъятная область, вместе с тем охваченная ясной структурой, буквально разверзлась область трансфинитного (мощности и типы порядков Кантор называл трансфинитными, т. е. сверхконечными числами), которая лежит «как бы на середине между абсолютною полнотою и конечным» (констатация Флоренского) и «заполняет обширную область возможного в познании Бога» (вторит ему Кантор) 28. Вспоминая известный афоризм Паскаля о человеке («среднее между всем и ничем») и комментируя канторовские результаты, Флоренский формулирует эту «срединность» еще и так:

«Если мы ничто перед Абсолютным, то все же мы — нравственно однородны с Ним, мы можем постигать Его <…>; мы носим в себе трансфинитное, сверх-конечное, мы — космос — не являемся чем-то конечным, прямо противоположным Божеству, мы — трансфинитны» 29.

Действительно, в содержании теории множеств (бесконечных множеств) можно указать важнейшие параллели научного опыта, здесь — опыта математического, и опыта религиозного. Только что было сказано о «нравственной однородности». Путь, по которому пошел Кантор вглубь (вдаль, ввысь) мира множеств и мира бесконечности, предстает действительно однородным и цельным. Для убедительности изложения этой характерной особенности Канторова пути мы можем взять на вооружение оценку, которой Кантор же расправлялся с нелюбезной ему идеей потенциально бесконечного: последнее, судил он, «имеет лишь отраженную реальность, всегда указывая на а<ктуально> б<есконечное>, благодаря которому оно лишь только и возможно». Да, к любому конечному числу всегда можно добавить очередную единицу, и эта нескончаемая череда указывает на целостный свой итог и возможна лишь как подступ к целому — актуальной бесконечности. Да, точно так же доступно увеличению актуально бесконечное, точно так же и трансфинитная череда указывает на новую целостную реальность в очередном ярусе иерархии бесконечностей. Да, нескончаемая последовательность все нарастающих и нарастающих актуальных бесконечностей указывает на новую целостность, Transfinitum отражает свет высшей реальности, Absolutum’а 30. Итак, устремленность и трезвление в мире нравственной жизни, нарастание величин и их ограничение сверху в мире абстрактных чисел — вот та параллель, что волновала ищущие умы от Кантора и Серапиона Машкина 31 до московских имяславцев. Ссылкой на характерные признания одного из последних мы и закончим эту часть наших заметок. В частности, в своих рассуждениях о природе личности и ее пределах (относятся к 1920-м, т. е. имяславским годам) В.Н. Муравьев дважды прибегал к «математическому сравнению» — сначала, когда он говорил о свойстве «расширения самоуглубляющейся личности» и ассоциировал его со способностью «математического ряда бесконечно умножаться и расширяться», и потом, когда подчеркивал, что «здесь мы имеем только половину задачи». Именно, писал Муравьев, в полном подобии с тем, как в деяниях математика

«для операций над числами и для самого их существования требуется, чтобы действующий закон индукции постоянно ограничивался тем, что Кантор назвал действием второго закона порождения чисел [о нем у нас уже шла речь — В.Т.], а именно способности нашей ограничивать каждое число, постигать его… как некую целостную сущность»,

так и

«бесконечное плавание в глубинах личности мира должно… приводить к вычерчиванию в ней определенных индивидуальных областей-берегов, иерархия которых и составит содержание вечных форм или проявлений мира» 32.

Небезынтересна для нашей темы еще и такая широкомасштабная подробность. Канторово описание форм «единств-множеств», можно сказать, поневоле обескураживает представляемым запасом номенклатуры бесконечностей. В самом деле, при современном состоянии развития точных наук мы не можем продвинуться по цепочке бесконечностей дальше двух-трех (буквально) звеньев, быстро исчерпывая содержательность соответствующих примеров. Так, за областью конечных чисел следует первая бесконечность («первый числовой класс», по Кантору), соответствующая всей совокупности натурального ряда чисел, и мощность этой бесконечности суть первая трансфинитная мощность. Далее следует вторая бесконечность («второй числовой класс»), соответствующая множеству действительных чисел, и мощность этой бесконечности составляет вторую трансфинитную мощность. И это всё или почти всё. Кантор еще предположил, что максимально вообразимая «сплошность», т. е. континуум, также имеет вторую трансфинитную мощность, однако не смог доказать этого, и «континуум-гипотеза» до сих пор будоражит умы самых отчаянных романтиков от математики. Можно и дальше двигаться по лестнице бесконечностей, теория множеств это позволяет, однако у последующих трансфинитов уже нет «земных» интерпретаций 33. А к воистину раблезианскому пиршеству форм бесконечностей нетрудно подать еще и такое блюдо (сей факт строго доказан самим Кантором) — в каждом числовом классе данной мощности можно построить сколь угодно много бесконечных множеств с различными порядками 34, т. е. на иерархию бесконечностей по кардиналам прихотливо накладывается еще одна иерархия, на этот раз по ординалам… Как тут не вспомнить образ непостижимой бездны, «заключенной» и «запечатанной» единым таинственным словом (имяславцы любили цитировать молитву Манассии 35). Да, создатель теории множеств воистину окликал эту бездну.

Упоминание о трансфинитных мощностях подводит нас к последнему, еще не затронутому у нас понятию из имяславского списка Лосева. Строго говоря, алеф — это не самостоятельное понятие, а условное обозначение, название, специфическое имя для мощности бесконечного множества или, как выражался Флоренский, это «символ бесконечности». А говорить о данном имени мощности (напомним, что мощность — это число) нужно хотя бы затем, чтобы в который раз отдать дань философской чуткости самого именовавшего. В данном условном обозначении есть безусловная ценность. Наделяя именем первой буквы древнего алфавита минимальную «единицу» из «натурального ряда бесконечностей», автор имени (разумеется, это Кантор 36) не столько напоминал современникам забытую традицию буквенной передачи цифр, сколько предоставлял хороший образ для выражения глубинной связи числа и слова (или имени). В этом соединительном «и» обозначился мощный смысловой пласт, который заслуживает специального и неспешного исследования, причем не обязательно проводимого с позиций имяславия. Здесь же приходится касаться лишь ближайших слоев пласта, а именно затронуть вопрос о скрытой (глубинной) семантике терминов теории множеств. Вот «алеф» — о нем и о хранимой им идее встречи и взаимопрорастания уже сказано. Вот «мощность» — слово, которое Кантор нашел не сразу, поначалу предпочитая сравнивать множества по «высоте» 37, что тоже, кстати сказать, прелюбопытно. Недаром ему так нравилось указывать термину «мощность» латинские синонимы plenitudo («полнота», «обилие») и potestas («сила», «мощь», «ценность», «действительность», «возможность» и, наконец, «смысл») 38. Да, энергию и здоровье источает такое слово. Наконец, вот «актуальная бесконечность» и знаменательная часть данного составного термина, ушедшая в прилагательное. Заметим, что латинские переводы слов «акт» и «актуальный» передают греческие прообразы — «энергия» и «энергийный». Нетрудно видеть, что в глубинную семантику теоретико-множественной терминологии волею судеб и благодаря духовной силе интуиции Кантора легли воистину первоосновные, жизненно важные (в особенности — с позиций имяславски настроенных философов) идеи. Можно, конечно, соглашаться с лосевским мнением о том, что в теории множеств прежде всего выразилась статически-идеальная реальность (недаром мы говорили выше о формах и структуре бесконечностей, т. е. о их «неподвижном» бытии, вполне в духе представления «идеи» у Платона). Таков уж, видно, общий удел математики и реально работающих математиков 39. Однако в силу особого предмета теории множеств (бесконечность) в понятиях ее не могла не отразиться и подвижно-антиномическая, т. е. энергийная реальность. В действительности «наивная» теория множеств выказывает необычайную глубину, в ней запечатлена весть о Вышнем.

3.5. Метаматематика А.Ф. Лосева

Из Хаоса родимого

Гляди — Звезда, Звезда!..

Из Нет непримиримого –

Слепительное Да!.. Вяч. Иванов. Огненосцы

Эпиграф, как известно, должен вводить и резюмировать, увлекать и останавливать, указывать начало и предвосхищать конец повествования. Он — как замкнутая кривая, где нет первых частей и нет последних, он, вернее, подобен такой окружности с неуклонно сжимающимся радиусом, в которой хоровод друг в друга переходящих точек стремится сойтись в центр, в средоточие единого вихря. Это четверостишие поэтического сборника Cor ardens поможет (должно помочь) нам сегодня, когда из глухих глубин небытия вдруг является новый, неизвестный пласт творчества выдающегося мыслителя, и сам момент важного обретения нашей культуры получает символическую окраску подобающей, соразмерной яркости. Четверостишие, будем надеяться, поможет вычленить и нечто главное в этом творчестве, мощном и длительном, разностороннем и, вместе, необычайно цельном, в творчестве еще и воистину светоносном. Свет упомянут не случайно, не «для образности»: всякая мыслительная конструкция, всякое умопостроение и умонастроение у Лосева пронизаны универсальной интуицией, а именно интуицией «слепительного Да», — в мире нет ничего кроме света, а тьма и любые прочие, по излюбленному авторскому выражению, «степени затемнения» призваны только оттенять, окаймлять, обрамлять четкие контуры и видимые точки, являя неразрывное единение темного фона и светлого лика. И разум призван равноправно сопрячь Тьму и Свет, Хаос и Логос, должен обнаружить их хаокосмическую Гармонию, — это фундаментальное положение лосевского творчества счастливо выражают стихотворные строки Вячеслава Иванова.

Далее нам остается последовать законам писательства и, среди прочего, по возможности полно развернуть на большем текстовом пространстве богатые потенции эпиграфа.

1. Недостающее звено

Все философско-математические и логические исследования, представленные в томе «Хаос и структура» (М., «Мысль», 1997) — а это незавершенный большой трактат «Диалектические основы математики», небольшой фрагмент «Математика и диалектика» и две законченные работы «О методе бесконечно-малых в логике» и «Некоторые элементарные размышления к вопросу о логических основах исчисления бесконечно-малых», — были созданы в 1930 — 40-х годах, и ни одно из них не знало печатного станка при жизни автора. Так что перед нами действительно предстает некое недостающее звено творчества Лосева. Попробуем прежде всего разобраться, чем же была вызвана эта своеобразная вспышка логико-математической активности философа, вспышка, зримые свидетельства о которой дошли до нас только сейчас.

Конечно, тут немаловажную роль сыграли известные внешние обстоятельства жизни Лосева, арест в 1930 году и последующая сталинская «перековка». Лагерный опыт явственно учил, что дальнейшая разработка идей, выдвинутых в знаменитом «восьмикнижии» 20-х годов, была бы попросту самоубийственна, поскольку она по необходимости требовала острых обобщений социологического, культурологического и богословского характера. Нужно было искать новые темы и целые области приложения творческих сил. Этот поиск, похоже, начался еще в тюрьме, где Лосев «прошел подробный курс дифференциального и интегрального исчисления, под хорошим руководством» 1, а уже в Свирьлаге писалась (вернее, сочинялась и удерживалась в уме) книга по диалектике аналитических функций. В архиве Лосева, надо отметить, хранится небольшая пачка разрозненных листков, относящихся к лагерной поре его жизни. Лихорадочные, сделанные в очевидно не подходящих не только для творчества, но и просто для элементарного письма условиях, эти наброски проливают свет на раннюю историю создания тех же «Диалектических основ математики» и верно свидетельствуют как о научном, так и о гражданском подвиге их автора.

Впрочем, в биографии Лосева был короткий период, когда внешние условия начинали складываться, казалось, вполне благоприятно для некоторых его творческих планов. Таковым было время недолгой работы на философском факультете Московского университета в начале 40-х годов, когда там создавалась кафедра логики. В архиве Лосева сохранился машинописный «План научно-исследовательской работы философского факультета МГУ на 1943 г.», где по разделу «Логика» даже планировалось издание работы Лосева объемом в три печатных листа. Довольно обширная статья под названием «Логическая теория числа» действительно была написана (насколько можно теперь заключить, она представляла собой переработанные начальные главы «Диалектических основ математики»), однако ни в 1943 году, ни потом при жизни автора так и не публиковалась 2.

Та же участь ожидала и все остальные сочинения, рожденные по ходу логико-философского «штурма»; его протяженность во времени вышла краткой, он сошел на нет после изгнания Лосева из университета в 1944 году в результате доноса и обвинения в «идеализме». Так пришлось оставить темы «математические» и в дальнейшем сосредоточиться — уже более удачливо — на «истории античной эстетики». Надежды на относительную нейтральность логико-математических тем оказались иллюзорными, и обо всем размахе лосевских замыслов и результатов в этой области может судить лишь современный читатель. В который раз подтвердилась печальная истина, со знанием дела констатированная П.А. Флоренским, о неизбежности отставания по фазе по меньшей мере на полвека между взлетом одинокого творчества и признанием заслуг творца медленно дозревающим обществом.

Кроме обстоятельств внешнего порядка сознательные логико-математические «экскурсы» диктовались и внутренней потребностью творческого бытия философа. Скажем так: работа, проделанная им на отрезке жизни вплоть до фатальной «Диалектики мифа», позволяла не только с уверенностью указывать на «трех китов», несущих, по Лосеву, весь груз миропонимания, — Имя, Миф, Число, — но и точно определяла программу научных исследований. Именно вслед за (или, вернее, вместе с) «философией имени» и «абсолютной мифологией» должна была строиться и «философия числа». Но в строительстве этом существенно, подчеркнем, различался род действий, о чем надобно судить с должной бережностью и пониманием.