Чтение онлайн

К сожалению, избранная тема диктует свои ограничения, потому лишь скороговоркой остается упомянуть, что в системе категорий Лосева наряду с множеством и на том же «пра-категориальном» языке получает специальное оформление также еще одна важная (а для имяславия и важнейшая) категория — имя 8. Однако мы обследуем имяславские потенции не этой системы, безусловно заслуживающей отдельного и внимательного изучения, но теории множеств. И относительно нее пора фиксировать первый предварительный вывод: в теории множеств и прежде всего в ее основном понятии, понятии множества, имяславцы (имяславцы, понимавшие толк в теории множеств) вполне справедливо могли находить ценный антиномико-диалектический пласт, с опорою на который можно рассчитывать, читаем у Лосева, на «разумное выведение мистических антиномий и их систематическую локализацию в сфере разума» 9.

Если диалектический характер теории множеств не был, как следует из вышесказанного, с полной методологической ясностью осознан ее создателем, то о другом не менее существенном свойстве так не скажешь. Это — платонизм теории множеств. Сам Кантор применял для характеристики своего «учения о трансфинитном» прехарактерное обозначение «теория идеальных чисел» и без обиняков указывал на «множество» как на «нечто, родственное платоновскому ????? и ????» 10. Говорить здесь о платонизме будет верно не только по букве, но и по духу, причем даже вопреки некоторым историко-философским сближениям собственно у Кантора. Так, ошибочно поставив на одну доску (по взглядам на природу числа) Платона и Аристотеля, сам он справедливо противопоставил число, отнесенное, «согласно его истинному происхождению», ко множеству как некоторой целости, с числом как условным знаком «для единичных вещей, отсчитываемых при субъективном процессе счета» 11. Конкретным философским результатом, то бишь точным осознанием данного противопоставления, Кантор явно отвергал аристотелевскую теорию числовой абстракции в пользу «ипостасийного» понимания числа по Платону — Плотину Итак, к антиномико-диалектическому характеру теории множеств следует, как не менее характерный, добавить платонизм, — добавить, чтобы с полной уверенностью (и к теме) воспроизвести следующую строчку имяславских тезисов:

«Имяславие возможно лишь как строгий диалектический платонизм типа Плотина или Прокла» 12.

По Лосеву, далее,

«теоретической опорой имяславия, в смысле обоснования логики имени, является также современная феноменология» 13.

Но существенные феноменологические черты присущи и теории множеств. Кстати, современный переводчик текстов Кантора на русский язык не увидел в определении Menge — оно приведено выше — как раз феноменологического оттенка канторовской дефиниции. В этом смысле безупречен перевод Флоренского, который мы также отчасти упоминали и теперь воспроизведем:

«Под „группою“ мы разумеем каждое объединение духом в целое M определенных, различных между собою объектов m нашего воззрения или нашего мышления (которые называются „элементы“ M)» 14.

Это-то «имелось» феноменологии, это «объединение духом в целое» и интересно. Именно с великой мощью теоретико-множественного полагания мы сталкиваемся постоянно, пользуясь представлением о множествах. С особой яркостью и чистотой феноменологизм теории множеств проявляется на экстремальных, крайних случаях. Из классических (видимо, без особых философских амбиций, а скорее из дидактических потребностей сконструированных) примеров можно предложить к рассмотрению множество, состоящее из солнца, разума и апельсина (И.И. Жегалкин). Заметим, сколь далекие по природе элементы объединены в данное множество, и заодно подчеркнем разницу между понятиями суммы и множества (напомним, что эта пара фигурирует в имяславских тезисах Лосева как раз под разделом «феноменологии имяславия»). Суммирование предполагает однородность слагаемых и заданность результата лишь в потенции, лишь алгоритмически, тогда как в множество можно объединить произвольные объекты, причем оно дается финально, устанавливается актом онтологического полагания. Из других примеров достаточно экзотических теоретико-множественных полаганий укажем еще «множество всех множеств» (каковое сыграло известную драматическую роль в жизни и творчестве Кантора) и, по почти очевидной ассоциации, «то, более чего нельзя ничего помыслить» (конструкция Ансельма Кентерберийского, знаменитого логициста-теолога XI века) 15.

Довольно пристально всмотревшись — воображаемым взглядом с позиций имяславия, — в основное понятие теории множеств, перейдем теперь к другим понятиям из лосевского перечня. Немалый интерес, прежде всего, составляют эксплицированные канторовской теорией представления об элементе и части, точнее, представления об отношениях элемента и множества, а также части и целого.

Начнем с отношений элемент — множество, хотя и о паре часть — целое забыть, пусть даже временно, не придется. На то есть причины, коренящиеся в истории (уже не отменимой) теории множеств. Как уже было сказано, в исходном понимании множества по Кантору заложена некая антиномическая слитость; однако на практике эта слитость была подорвана. Именно, понятие множества стало употребляться в собирательном смысле (как «единство»), когда речь заходила о части и целом или подмножестве и множестве, оно же стало употребляться в разделительном смысле (как собственно «множество»), когда речь заходила об элементах множества, точнее, о вопросе принадлежности их к множеству 16. В этом разрыве есть вина либо, на чей-то вкус, заслуга самого Кантора, любившего, с одной стороны, подчеркивать «организменность» объектов своей теории, т. е. подчиненность элементов интегральному целому, но, с другой стороны, требовавшего от всякого элемента множества, чтобы тот был «хорошо определен» или «хорошо различим». Можно сказать и о недостаточной готовности математиков, с Кантора же и начиная, к тяготам нелегкого (но и необходимого, во всяком случае в теории множеств) обращения с антиномиями… Но здесь пришлось бы уходить далеко в глубины (дебри) оснований математики, чего нельзя делать теперь еще и без учета громадной критической работы, проделанной в свое время Лосевым 17. Поэтому нам остается просто констатировать, что в теории множеств существует два конкурирующих полюса, к которым тяготеют те или иные конструкты теории, — полюс «первичности элемента» и полюс «первичности целого». Существует один из таких конструктов, который как бы застыл посредине между названными полюсами и своим существованием наглядно демонстрирует теоретико-множественную специфику. Это — одноэлементное множество, т. е. такое множество M = {m}, которое состоит точно из одного элемента m и рассматривается как сущность, неравная этому элементу, иными словами, здесь ложно утверждение {m} = m. Так встретились две различные реальности, реальность элемента и реальность множества, причем их принципиальная разница нисколько не утрачивается от того, что элемент и одноэлементное множество часто могут носить одно и то же наименование. Как видим, в теории множеств (и это она — наивная?!) заложены возможности для тончайших различений, казалось бы, чрезвычайно близких объектов, но на самом деле объектов разной «породы». Здесь невольно напрашиваются параллели к имяславской формуле, утверждающей нечто важное об одном уникальном «одноэлементном множестве»: «Имя Божие есть Бог, но Сам Бог не есть Имя Божие».

И укажем еще одну параллель, ненадолго покинув область «наивной» теории множеств. К этому подталкивает присутствие связки «есть» в только что приведенной формуле. Данная связка занимает ключевое место в интересной логической системе польского математика Станислава Лесьневского, — она нередко упоминается (но что хорошо известна, не скажешь) под названием мереологии. В рамках мереологии связка «есть» фактически заменяет понятие принадлежности элемента множеству, а сами множества понимаются не в разделительном, а в собирательном смысле. Кроме того, тут вводится жесткое ограничение на содержание утверждений со связкой (она употребляется только для непустых единичных имен объектов) и при этом условии специально рассматриваются отношения целого и части. В итоге же мереология, по мнению ряда исследователей, выступает не как улучшенный вариант теории множеств, но как ее мощный конкурент 18. Судя по всему, эта до сих пор мало изученная и чрезвычайно утонченная математическая теория представляет большую перспективу для новых философских прочтений, причем не в последнюю очередь — прочтений феноменологических и в особенности прочтений с точки зрения имяславия. Но поскольку московские имяславцы 20-х годов не были знакомы с изысканиями Лесьневского, мы можем коснуться этой темы разве что в порядке резервирования на будущее.

Впрочем, при упоминании мереологии вновь фигурировали отношения части и целого; к более подробному рассмотрению этих отношений и пришла пора перейти. Сразу отметим, что и в этом пункте нас ожидает вполне нетривиальный результат. Если, как выяснилось, к отношениям элемента и множества теория Кантора дает весьма тонкий аппарат для (выразимся кратко) «различений близкого», то в теоретико-множественных отношениях целого и части выявляется не менее интересная возможность «сближений далекого». При этом и в первом, и во втором случае обыденная интуиция если и не вовсе пасует, то оказывается по меньшей мере малополезной. Действительно, если говорить о части и целом, то привычки обычной языковой практики готовы засвидетельствовать здесь только одно: часть есть ущерб целого и, лишь разрастаясь до крайних размеров (т. е. переставая быть именно собой, частью), она становится тождественной целому, совпадает с ним. Заслуга Кантора состояла в строгом доказательстве возможности совсем иного отношения части и целого, справедливого для особого класса множеств. Именно для бесконечных множеств всегда (подчеркнем — всегда) справедливо то, что для конечной области возможно лишь в вырожденном случае, — эквивалентность бесконечного множества (целого) своему бесконечному подмножеству (части). Если воспользоваться известным крылатым выражением, то фундаментальная особенность области бесконечного можно выразить так: «лев» здесь не только «узнается по когтям», но «когтями» же и полностью представлен. Процедура установления эквивалентности множеств, которую нашел Кантор, оказалась настолько простой и убедительной (это, напомним, попарное сочетание элементов сравниваемых множеств и демонстрация того, что ни в одном множестве не остается непарных элементов), что она фактически стала конструктивным методом распознавания бесконечных множеств. Для выяснения того, каким является данное множество, конечным или бесконечным, необходимо и достаточно проверить отношение его как целого к собственной части: неэквивалентность целого и части сигнализирует о конечности, эквивалентность — о бесконечности множеств.

Все эти специфические и, может быть, скучные «технические» подробности приходится излагать только ради возможности прийти к вопросу, для нашей темы важнейшему, к вопросу о соприкосновении бесконечности и Бесконечности. Имяславцы давали на него собственный ответ, а в арсенал своих аргументов они вполне могли бы включить следующее высказывание Кантора:

«Как ни ограничена в действительности человеческая природа, к ней все-таки прилипло очень многое от бесконечного, и я думаю даже, что если бы она не была сама во многих отношениях бесконечной, то нельзя было бы объяснить твердой убежденности и уверенности в бытии абсолютного» 19.

Отнесение «человеческой природы» в область бесконечного вместе с прямым доказательством своего рода «соразмерности» — в этой области — объемлемого (а если это человек?) и объемлющего (а если это Бог?) дает право решать вопрос о «соприкосновении» в каком-то смысле положительно. Но тут же встает иная проблема. Как ни называть отношение, в строгом ли смысле эквивалентностью множества и подмножества 20, в нестрогом ли смысле «соразмерностью» или «соприкосновением» (а то и вовсе сказать — «прилипло»), сомнение возникает одно и то же: если это отношение предполагается между тварью (пусть — бесконечностью) и Творцом (пусть — Бесконечностью), то построения теории множеств, выходит, смыкаются с пантеизмом. В трудах самого Кантора засвидетельствовано, что упреки в пантеизме он действительно получал 21, а в свою очередь Флоренский прямо так и объяснял «десятилетнее» (возможен, отметим, и другой подсчет) молчание математика, первоначально таившего свое новое понимание бесконечности, — он действительно обдумывал и проверял, «нет ли в его идеях ошибок и неувязок, не ведет ли его учение к пантеизму» 22. Поэтому не нужно удивляться, когда где-нибудь в сугубо математическом тексте создателя теории множеств вдруг встретится явно не математическое, явно с «онтологическим привкусом» утверждение о том, что всякое множество обладает «большей реальностью», чем подмножество. Да, он постоянно помнил о грозной опасности.

Однако Кантор долго отмалчивался недаром, ибо его теория явилась перед ученым сообществом во всеоружии новых и, главное, фундаментальных понятий, на которых строится не какое-то фрагментарное, пусть и блестящее умозаключение, но вполне законченное здание цельного мировоззрения. Вместе со счастливо найденной общей идеей множества (уже ее запасов хватает, чтобы на протяжении почти века определять то, что называется теоретико-множественным стилем мышления) громадную роль несущих конструкций играют канторовские понятия мощности и порядкового типа множеств, а также понятие актуальной бесконечности. Мы будем говорить о них по необходимости кратко.

Представления о мощности (или кардинальном числе, кардинале) и типе (порядковом типе, или ординальном числе, ординале) произвольного множества появились у Кантора на пути дальнейшего совершенствования аппарата сравнения множеств и установления их эквивалентности. В области конечного такое сравнение легко делается посредством оценки количества элементов множеств (больше то множество, у которого большее количество элементов), но «когда мы поднимаемся в область бесконечного», говорил Кантор, понятие количества «как бы раскалывается» надвое — на понятие мощности и порядкового типа 23. Разница между ними лежит в степени отвлечения от характера элементов множества. Точнее, если в общем случае не принимается во внимание качественное наполнение множеств, природа их элементов, но важен приданный множествам порядок, то множества будут сравниваться по порядковому типу; если же отвлечение произведено и от порядка элементов (и тем самым уже не оставляется ни малейших следов качественности), то множества будут сравниваться по мощности. Два множества считаются эквивалентными, если они имеют одинаковую мощность, т. е. между их элементами устанавливается взаимно-однозначное соответствие без соблюдения порядка сравниваемых элементов. Так, эквивалентны множество цветов радуги и множество музыкальных тонов или — пример из списка первых математических подвигов Кантора — эквивалентны множество натурального ряда чисел и множество положительных рациональных чисел. Два множества считаются подобными, если они имеют одинаковый порядковый тип, т. е. при установлении однозначного соответствия множеств сохранен также порядок расположения их элементов. Так, подобны множество всех точек живописной картины и множество всех точек ее копии 24.