Чтение онлайн

где r — искомый радиус.

Спроецируем точку О1 на АО и рассмотрим прямоугольный треугольник O1EO2. B нем O1O2 равно разности радиусов, т. е. O1O2 = a/2– r; EO1 равно половине OB, т. е. EO1 = а3/6. Отрезок O2Е = |AE– AO2|. Знак абсолютной величины означает, что точка О2 может оказаться ниже точки E, либо выше ее (см. рис. P.3.49, на котором изображены оба случая). Так как AE = 1/2 , АО = a/6, а AO2 = 3r, то O2E = |a/6– 3r|.

По теореме Пифагора O2O^21 = O2Е^2 + EO^21, т. е.

(a/2– r)^2 = (a/6– 3r)^2 + a^2/12.

После простых преобразований получим уравнение

8r^2 + (1 - 6)ar = 0,

откуда

r = 6 - 1/8а.

Так как АO2 = 3r, то AO2 = 36 - 1/8а, в то время как AE = a/6.

Сравнивая AO2 и AE, мы видим, что AO2 больше. Следовательно, точка O2 на рис. P.3.49 должна располагаться ниже точки E.

Ответ. 6 - 1/8а.

3.50. Плоскость , проходящая через ось РР и центр О основания пирамиды, образует в сечении некоторый треугольник SMN (рис. P.3.50). Повернем треугольник SAB около оси РР так, чтобы он лег в плоскость . Так как AB = MN, а высота SO меньше высоты SK, то треугольники расположатся так, как показано на рис. P.3.50. Любое другое сечение SEF пирамиды попадет внутрь пятиугольника SMABN, а все сечения дважды покроют этот пятиугольник.

Остается определить объем тела, полученного от вращения пятиугольника SMABN вокруг оси РР. Половину искомого объема можно получить в виде разности объемов цилиндра, полученного от вращения прямоугольника SKBL, и конуса, полученного от вращения треугольника SNL:

1/2 VSMABN = VSKBL– VSNL = SK^2 · BK– 1/3 LN^2 · BK = BK(SK^2 - 1/3 LN^2).

Из соответствующих треугольников находим

SK = a/2 ctg /2; LN^2 = SO^2 = SN^2 - NO^2 = a^2/4 ctg^2 /2– a^2/4.

Таким образом,

VSMABN = a(a^2/4 ctg^2 /2– 1/3 a^2/4 ctg^2 /2 + a^2/12) = a^3/12(2 ctg^2 /2 +1).

Ответ. a^3/12(2 ctg^2 /2 +1).

3.51. Способ 1. Рассмотрим радиус r вписанного в конус шара и угол (на рис. P.3.51 изображено осевое сечение конуса).

Тогда полная поверхность конуса будет равна

Sпк = R (R + l) = r^2 ctg^2 (1 + 1/cos 2),

где радиус R основания конуса и его образующая l равны соответственно

R = r ctg , l = r ctg /cos 2.

(промежуточные выкладки проделайте самостоятельно). Так как Sш = 4r^2 и по условию Sпк = 2Sш, то после сокращения на r^2 и несложных преобразований приходим к тригонометрическому уравнению

1 + cos 2/cos 2 = 8 tg^2 .

Выразив tg^2 через cos 2, получим

1 + cos 2/cos 2 = 81 - cos 2/cos 2,

откуда cos 2 = 1/3 .

Найдем теперь требуемое отношение объемов. Имеем

Vк = r^3/3 ctg^3 tg 2, Vш = 4/3r^3.

Преобразуем выражение ctg^3 tg 2, имея в виду, что cos 2 = 1/3 :

ctg^3 tg 2 = ctg^2 · ctg sin 2/cos 2 = 1 + cos 2/1 - cos 2 · cos · 2 sin cos / 1/3 sin = 8.

Следовательно, Vк = 2Vш, т. е. отношение объема конуса к объему шара равно 2.

Способ 2. Представим объем конуса как сумму двух объемов V1 и V2, где V1 — объем тела, образуемого вращением заштрихованного на рис. P.3.51 треугольника вокруг оси конуса, а V2 — объем конуса с осевым сечением AOB. Имеем

Vк = V1 + V2 = 1/3 rSб + 1/3 rSo = r/3(Sб + So) = r/3Sпк

(здесь использована лемма об объеме тела вращения треугольника; So — площадь основания конуса, Sб — площадь его боковой поверхности).