Чтение онлайн

1/6abc = 1/6(xab + xbc + xac),

откуда найдем x.

Ответ. abc/ab + bc + ac. 

3.26. Верхнее основание куба будет вписано в равносторонний треугольник A1B1C1 (рис. P.3.26) подобный основанию ABC пирамиды.

Выразим сторону A1C1 треугольника A1B1C1 через сторону вписанного квадрата:

A1C1 = 2A1E1 + a = 2a ctg 60° + a = a(1 + 2/3).

Площадь треугольника A1B1C1 тогда равна

Ответ.

3.27. Пусть трехгранный угол пересечен некоторой плоскостью и в сечении образовался треугольник со сторонами a, b и с (рис. P.3.27).

Обозначим через x, y и z боковые ребра образовавшейся пирамиды, если ее вершиной считать вершину данного трехгранного угла. Тогда объем этой пирамиды равен xyz/6. Поскольку все плоские углы, образующие трехгранный угол, прямые, имеем

x^2 + y^2 = a^2, y^2 + z^2 = b^2, z^2 + x^2 = с^2.

Сложим эти уравнения, найдем x^2 + y^2 + z^2 = 1/2 (а^2 + b^2 + с^2). Теперь легко определить x, y и z. Таким образом,

Если треугольник в сечении тупоугольный и а <= b < с, то а^2 + b^2 < с^2, т. е. первая скобка под корнем отрицательна, в то время как остальные положительны. Если же треугольник в сечении прямоугольный, то одна из скобок обращается в нуль. Таким образом, нет сечения трехгранного угла, которое не было бы остроугольным треугольником.

3.28. Осуществив построения, изображенные на рис. P.3.28, постараемся вычислить объем данной пирамиды как удвоенный объем пирамиды AODC с вершиной в точке A (равенство объемов AODC и BODC станет очевидным из дальнейшего). Докажем вначале, что AFBE — прямоугольник. Из равенства треугольников CFB и DEA следует, что EA = BF. Аналогично BE = FA. Следовательно, AFBE — параллелограмм. Но EF = AB, а потому эта фигура — прямоугольник. Чтобы найти площадь треугольника DOC, нужно вычислить его высоту CF, для чего достаточно знать стороны прямоугольника AFBE.

Отрезок CF может быть найден из двух прилегающих к нему прямо угольных треугольников. С одной стороны, CF^2 = BC^2 - BF^2, с другой стороны, CF^2 = AC^2 - AF^2, т. е. BF^2 - AF^2 = а^2- b^2.

Составим систему уравнений:

из которой найдем BF^2 = 1/2 (а^2 - b^2 + с^2), AF^2 = 1/2 (с^2 - а^2 + b^2). Теперь можно вычислить CF и AK:

CF^2 = а^2 - 1/2 (а^2 - b^2 + с^2) = 1/2 (а^2 + b^2 + с^2),

Объем пирамиды ABCD равен 2 · 1/3 AK( 1/2 DC · CF).

Ответ.

3.29. Расположим пирамиду ABCD так, как показано на рис. P.3.29, а. Воспользуемся методом сравнения объемов по отношению к телу ANBMCD.

С одной стороны, его можно рассматривать как составленное из двух пирамид с общим основанием MNCD и с вершинами в точках A и B. Основание MNCD — прямоугольник с известными сторонами. Высотами будут перпендикуляры AK и BL, опущенные на MN (рис. P.3.29, б). Так как нам нужна сумма объемов двух пирамид с общим основанием, то выразим AK + BL через AB и sin . Тогда объем нашего тела будет выражен через .

С другой стороны, VANBMCD = VABCD + VABMD + VABNC.

Проведем AG || KL (см. рис. P.3.29, б). Тогда

AK + BL = GB = 12 sin , SMNCD = 6 · 8 = 48,

VANBMCD = 1/3 SMNCD(AK + BL) = 4 · 48 sin ,