Чтение онлайн

Ответ. 5 : 3.

4.6. Соединим точки P, Q и R с вершиной A (рис. Р.4.6), после чего соединим их между собой.

Продолжим A1B1 до пересечения с QP в точке E и A1D1 до пересечения с QR в точке F. Обе точки E и F лежат в плоскости верхнего основания, а EF — след сечения в этой плоскости, который пересекает верхнюю грань куба по отрезку MK.

Продолжим DC до пересечения с PR в точке G и соединим K с G. На ребре СС1 получим точку L, принадлежащую сечению.

Из подобия треугольников QА1Е и QAP следует, что А1Е = А1Q = 3a/2, где а — ребро куба.

Следовательно, В1Е = а/2. Аналогично D1F = а/2 и СG = а/2, откуда следует, что МС1 = KC1 = LC1 = а/2. Объем пирамиды MC1LK равен а^3 : 48.

Ответ. 1 : 47.

4.7. Пусть MN = а (рис. P.4.7).

Тогда aSK = 2Q. Выразим искомую площадь через а и SK. Отрезок AB — средняя линия трапеции IМNJ, а отрезок DC — средняя линия треугольника SIJ. Поэтому

AB = 3/2а, DC = а.

Из подобия треугольников SOK и HOG следует, что HG = 1/2 SK. Осталось определить HL и EF:

HL = GL–  GH = 3/4 SK– 1/2 SK = 1/4 SK;

из подобных треугольников FSL и RSP

EF/a = SL/SP = KG/KP = 1/4 , т. е. EF = а/4.

Теперь можно подсчитать площадь сечения, которая равна

1/2 (AB + CD)GH + 1/2 (CD + FE)HL = 1/2 (5a/4GH + 5/4aHL) = 5a/4( 1/2 SK + 1/8SK) = 25a/32SK.

Так как aSK = 2Q, то площадь сечения можно выразить через Q.

Ответ. 25/16Q.

4.8. Спроецируем С1С на плоскость основания призмы (рис. P.4.8). Отрезок EK — средняя линия в треугольнике С1CF.

Через точки K и D проведем прямую, которая пересечет AB в точке M. Докажем, что ЕМ — высота в треугольнике АВЕ.

Поскольку KC = 1/2 FC, а DO = 1/2 OB (ABC — правильный треугольник) и FC = OB (треугольники C1FC и В1ОВ равны), то KC = DO. Покажем, что KC || DO. B самом деле, так как OB AC, то и ВВ1 AC. Следовательно, CC1 AC, а значит, и KC AC. Итак, KC и DO параллельны, а фигура KCOD — параллелограмм. Теперь мы можем воспользоваться тем, что отрезок KM параллелен CO, а потому перпендикулярен к AB. Отсюда следует, что ЕМ — высота в треугольнике АВЕ.

Остаются простые вычисления:

Площадь треугольника ADB можно найти двумя способами: 1/2 DM · AB = 1/2 DВ · AD, т. е. bDM = b^23/4, откуда MD = b3/4. Теперь найдем ЕМ:

Ответ.

4.9. B диагональной плоскости ВВ1D1D (рис. P.4.9) проведем через точку F отрезок EG, параллельный ВD.

B другой диагональной плоскости AA1С1С проведем через точку F отрезок KL || АС1. B плоскости верхнего основания построим отрезок MN || В1D1 и проходящий через точку L. Точки K, G, N, M, E являются вершинами сечения, площадь которого мы должны вычислить. Это сечение — пятиугольник, разбивающийся на треугольник EKG и трапецию EGNM. Если KR — высота треугольника, а Q — точка пересечения KR и EG, то площадь пятиугольника равна

1/2 KQ · EG + 1/2 (EG + MN)QR.

Так как KL || AC1, то LC1 = 1/4 A1С1 и MN = 1/2 В1D1 = 1/2 EG. B свою очередь