Чтение онлайн

Ответ.

3.43. Пусть OA = R, SO = H, ребро куба равно a (рис. P.3.43).

Из подобия треугольников SOA и SO1B получим

Так как

то

Из подобия треугольников SO1B и SO2C

Упростим последнюю пропорцию и найдем из нее H:

С помощью первого соотношения определим теперь R:

Остается сосчитать отношение объемов: R^2H/3a^3. 

Ответ.

3.44. Обозначим через а сторону нижнего основания пирамиды, через b сторону ее верхнего основания, а через S площадь боковой грани. Объем пирамиды можно записать так:

С другой стороны, объем равен

Приравнивая эти два выражения, найдем

Вспомним, что боковая грань — трапеция, боковые ребра которой равны верхнему основанию. Площадь этой трапеции легко найти, если вычислить ее высоту:

Сравнивая с предыдущим выражением для S, получим уравнение относительно а/b. После сокращения на а + b (равенство суммы а + b нулю не имеет геометрического смысла) и возведения в квадрат придем к выражению

2b^2 + ab– а^2 = 0

или

(a/b)^2 - a/b– 2 = 0.

Так как а и b — положительные величины, то а/b = 2, или а = 2b.

Чтобы связать величины b и r, спроецируем точку С1 на плоскость нижнего основания (рис. P.3.44). Поскольку радиус описанной окружности треугольника ABC в два раза больше радиуса описанной окружности треугольника А1В1С1, то DC = b/3.

По теореме Пифагора для треугольника С1DС

b^2 - b^2/3 = 4r^2,

откуда

b = r6, а = 2b = 2r6.

Остается вычислить объем:

Ответ. 73r^3.

3.45. Пусть О1 и О2 — центры меньших шаров, О3 — центр большого шара, а О — центр шара, радиус которого нужно определить. Спроецируем точки O1, O2, O3 и О на плоскость (рис. P.3.45). Треугольник Р1Р2Р3 равнобедренный и точка P лежит на его медиане и высоте.

Обозначим радиус ОР = x. После этого многие отрезки на рис. P.3.45 можно будет выразить через R, r и x. Отложим на O3Р3 = R отрезок ВР3 = r. Треугольники O1O2В и Р1Р2Р3 равны, как основания призмы. Перед нами задачи — связать величины r = О1Р1 = О2Р2, R = О3Р3, x = ОР. Прямоугольные треугольники ОО1Е и ОО3С позволяют вычислить отрезки РР1 и Р3Р. Отрезок DР3 = AB можно найти из прямоугольного треугольника О3АВ (О3А можно считать известной величиной). Полученные отрезки образуют прямоугольный треугольник P1DP, для которого будут вычислены все стороны. Теорема Пифагора для этого треугольника и даст нужное нам соотношение между r, R и x.

Проведем теперь все вычисления.

Из треугольника О3АО2 находим

из треугольника О3АВ находим

Следовательно,

Вычисляем

P3Р^2 = CO^2 = (R + x)^2 - (R– x)^2 = 4Rx

и

Р1Р^2 = ЕО^2 = O1O^2 - O1Е^2 = (r + x)^2 - (r– x)^2 = 4rx.

B треугольнике P1DР известна гипотенуза Р1Р. Катет Р1D = r, а катет

По теореме Пифагора Р1Р^2 = Р1D^2 + DP^2, т. е.

или

Решая это уравнение, находим

Хотя правая часть в обоих случаях положительна, нужно взять только знак минус, так как второе значение для x оказывается больше r, что невозможно.

Ответ.

3.46. Пусть O1 и O2 — центры двух равных шаров с радиусом R, а O3— центр третьего шара радиусом r (рис. P.3.46). Треугольник O1O3F прямоугольный, т. е.

O1O3^2 = O1F^2 +O3F^2.