Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы
Шрифт:
4.7. Площадь боковой грани правильной шестиугольной пирамиды равна Q. Вычислите площадь сечения, проходящего через середину высоты пирамиды параллельно боковой грани.
4.8. В треугольной призме ABCА1В1С1 боковое ребро равно l. В основании призмы лежит правильный треугольник со стороной b, а прямая, проходящая через вершину В1 и центр основания ABC, перпендикулярна к основаниям. Найдите площадь сечения, проходящего через ребро AB и середину ребра СС1.
4.9. В прямоугольном параллелепипеде ABCDА1В1С1D1 (ABCD и А1В1С1D1 — основания) даны длины ребер AB = а, АD = b, АА1 = с. Пусть точка O — центр основания ABCD, O1 — центр основания А1В1С1D1, F — точка, делящая отрезок O1O в отношении 1 : 3. Найдите площадь сечения данного параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку F параллельно его диагонали АС1 и диагонали ВD основания.
4.10. В точке E, находящейся на расстоянии 2h от плоскости основания куба с ребром h и на расстоянии R > 2h от прямой, соединяющей центры оснований куба, помещен источник света. Докажите, что тень, отбрасываемая кубом на плоскость основания, будет иметь наибольшую площадь, когда плоскость, проходящая через центр куба, точку E и одну из вершин, перпендикулярна к плоскости основания.
4.11. На плоскость под прямым углом к ней падает пучок параллельных лучей. Как расположить над плоскостью куб с ребром а, чтобы отбрасываемая им тень имела максимальную площадь? Найдите площадь максимальной тени.
Глава 5
Геометрические места
5.1. Найдите геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из центра O круга на хорды, проходящие через данную точку N внутри круга.
5.2. На плоскости зафиксированы две различные точки А и В. Найдите геометрическое место точек M, для каждой из которых AM · ВМ · cos AMB = 3/4 АВ^2.
5.3. На плоскости зафиксированы две различные точки А и В. Докажите, что геометрическое место точек M, удовлетворяющих условию 2АМ^2 + МВ^2 = АВ^2, есть окружность с диаметром AC, где точка С лежит на отрезке AB, причем AC/BC = 2.
5.4. Дан треугольник ABC. Найдите геометрическое место точек M, таких, что площади треугольников АМВ и NМС равны.
5.5. На плоскости даны два отрезка: AB и CD. Найдите геометрическое место точек M плоскости, для которых площади треугольников ABM и CDM равны.
5.6. Дан куб с ребром а. Найдите геометрическое место середин отрезков длины l, один из концов которых лежит на диагонали верхнего основания, а другой — на непараллельной ей диагонали нижнего основания.
Глава 6
Свойства чисел. Делимость
6.1. Докажите, что р^2 - 1 делится на 24, если p — простое число, большее 3.
6.2. Докажите, что n^3 + 2n при любом натуральном n делится на 3.
6.3. Докажите, что число 3105 + 4105 делится на 49 и 181.
6.4. Сколько в числе 500! содержится множителей 2?
6.5. Делится ли число
6.6. Определите, при каких целых значениях n выражение n4 + 4 является простым числом.
6.7. Докажите, что
6.8. При каких целых значениях x дробь
6.9. Найдите все пятизначные числа вида
6.10. Найдите трехзначное число
6.11. Найдите простое число p, если p + 2 и p + 4 — простые числа.
6.12. Докажите, что tg 5° — число иррациональное.
6.13. Найдите два последовательных натуральных числа, сумма цифр каждого из которых делится на 11.
6.14. Найдите все целочисленные решения уравнения
3x^2 - 16xy - 35y^2 + 17 = 0.
6.15. Сколько различных целочисленных пар (x, y) удовлетворяют уравнению
x^2 = 4y^2 + 20 025?
6.16. Найдите натуральные x и y, удовлетворяющие условию 113x - 69y = 11, сумма которых x + y принимает наименьшее значение.
Глава 7
Алгебраические преобразования
Следующие ниже замечания относятся не только к этой главе, они имеют более общий характер.