Чтение онлайн

tg x = -7,

откуда x = -arctg 7 + k, где k — любое целое число.

Хотя все произведенные преобразования кажутся «законными», мы легко убедимся в том, что целая серия корней x = /2 + k потеряна. Достаточно подставить эти значения неизвестного в исходное уравнение.

Корни были потеряны в результате применения неабсолютных тождеств

левые части которых существуют всегда, а правые теряют смысл

именно при x = /2 + k.

Если по каким-то причинам мы не могли избежать применения неабсолютных тождеств, грозящих потерей корней, то нам не остается ничего иного, как проверить те значения неизвестного, которые оказались исключенными из области определения входящих в уравнение выражений. В нашем примере, как и в большинстве тригонометрических уравнений, это нетрудно сделать.

Наконец, отметим такой важный момент при решении уравнений, как правильное использование условий.

Уравнение

lg (1 + x) + 3 lg (1 - x) = lg (1 - x^2) - 2

удобнее всего решать, преобразовав lg (1 - x^2) в сумму логарифмов. Чтобы оградить себя от возможной потери корней, мы должны написать

lg (1 - x^2) = lg |1 + x| + lg |1 - x|.

Однако подобная осторожность в этом примере является излишней. Поскольку в уравнение наряду с выражением lg (1 - x^2) входят lg (1 + x) и lg (1 - x), то 1 + x и 1 - x должны быть положительными, чтобы левая часть уравнения имела смысл. Поэтому вместо lg |1 + x| и lg |1 - x| можно написать lg (1 + x) и lg (1 - x). Таким образом, данное уравнение принимает вид

lg (1 + x) + 3 lg (1 - x) = lg (1 + x) + lg (1 - x) - 2.

Приведя подобные члены, получим

2 lg (1 - x) = -2,

откуда x = 0,9 — единственный корень данного уравнения.

На этом примере мы видим, что правильное использование условия позволяет быстрее достичь цели, чем в случае чисто формальных преобразований.

Однако достаточно ли обоснованным было приведенное выше решение? Чтобы убедиться в этом, решите самостоятельно такое уравнение

lg (1 + x) + 3 lg (1 - x) = lg (1 - x^2) + 2.

Оно отличается от предыдущего лишь знаком последнего члена. Поэтому, повторив все приведенные только что рассуждения, получим

2 lg (1 - x)= 2,

откуда x = -9. Подставив это значение x в исходное уравнение, убеждаемся в том, что нами найден посторонний корень. Произошло это потому, что уравнения

lg (1 + x) + 3 lg (1 - x) = lg (1 + x) + lg (1 - x) + 2

и

2 lg (1 - x) = 2

неравносильны. Равносильность нарушилась в результате уничтожения в правой и левой частях уравнения члена lg (1 + x), который существенно ограничивал область определения уравнения. Таким образом, проверка здесь является необходимой частью решения.

Разобранный пример нередко предлагают решать так. Найдем область определения уравнения:

Теперь будем применять к уравнению те преобразования, которые не могут привести к потере корней:

lg (1 + x) + lg (1 - x)^3 = lg (1 - x^2) + lg 100,

lg [(1 + x)(1 - x)^3] = lg 100(1 - x^2),

(1 + x)(1 - x)^3 = 100(1 - x^2).

Решая последнее уравнение, найдем х1 = 1, х2 = -1, х3 = -9, х4 = 11. Так как все четыре числа не попали в интервал -1 < x < 1, то исходное уравнение не имеет корней.

Для данного уравнения такой метод решения оказывается верным, так как позволяет отбросить все найденные значения x. Однако основан он на ошибочном убеждении, что в процессе преобразований могут быть приобретены лишь те посторонние корни, которые не попадают в область определения исходного уравнения.

Приведем два примера.

Вначале рассмотрим уравнение

arcsin x = /3 + arcsin x/2.

Его область определения — отрезок -1 <= x <= 1. Возьмем синусы от правой и левой частей уравнения, в результате чего получим следствие

sin (arcsin x) = sin (/3 + arcsin x/2), т. е.

Решая последнее уравнение, получим х1 = -1, х2 = 1. Оба значения x принадлежат области определения исходного уравнения, однако х2 = -1 — посторонний корень, в чем легко убедиться проверкой.

Решим теперь в области действительных чисел уравнение

Областью определения этого уравнения является вся числовая ось. Возведем данное уравнение в куб:

В последнее уравнение входит выражение

Возведя в куб, получим

(x + 1)(3x + 1)(x - 1) = -(x + 1)^3,

откуда x1 = -1, x2 = 0.

Проверка убеждает нас в том, что корень x2 = 0 является посторонним. Он появился в результате замены левой части данного уравнения на не равную ей тождественно правую часть.