Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы
Шрифт:
в случае, когда (x) имеет смысл при всяком x, равносильны; в противном случае второе уравнение является следствием первого.
19. Если в уравнении
(8)
отбросить знаменатель, то получится уравнение
f(x) = (x),
являющееся следствием данного уравнения.
19а. Уравнение (8) равносильно системе
(8а)
20. Если обе части уравнения f(x) = (x) возвести в квадрат, то полученное уравнение
[f(x)]^2 = [(x)]^2 (9)
является следствием данного уравнения. Уравнение (9) равносильно совокупности двух уравнений:
f(x) = (x), f(x) = -(x).
21. Чему равносильна система
22. Докажите, что следствием уравнения
является уравнение
при условии, что
Найдите действительные корни уравнений:
9.1. |x| - 2|x + 1| + 3|x + 2| = 0.
9.2. |x^2 - 9| + |x^2 - 4| = 5.
9.3.
9.4.
9.5.
9.6.
9.7.
9.8.
9.9.
9.10. Найдите действительные решения уравнения
|x^2 - 3 · x/2 - 1| = -x^2 - 4x +
и определите, при каких значениях оно имеет единственное [6] действительное решение.
9.11. Решите систему
9.12. Найдите все действительные значения k, при которых решение системы
6
Два совпадающих решения считаются за одно.
удовлетворяет условию: x > 1/k, у > 0.
9.13. В области действительных чисел решите систему
9.14. При каких значениях а система
имеет действительные решения? Найдите эти решения.
Решите системы:
9.15.
9.16.
9.17.
9.18.
9.19. Числа x, у и z удовлетворяют системе уравнений
где а, b, с не равны друг другу. Найдите x^3 + у^3 + z^3.
Решите системы:
9.20.
9.21.
9.22.
9.23.
9.24. Найдите все действительные решения системы
9.25. Найдите одно решение системы
Решите системы в области действительных чисел:
9.26.
9.27.
9.28.
9.29.
9.30. Найдите все значения а и b, при которых система
имеет единственное решение (а, b, x, у — действительные числа).
9.31. Найдите все значения а, при которых система
имеет хотя бы одно решение и всякое ее решение удовлетворяет уравнению x + у = 0 (а, x, у — действительные числа).
9.32. Найдите все значения а, при которых система
имеет хотя бы одно решение для любого значения b (а, b, x, у — действительные числа).
9.33. Найдите все значения а и b, при которых система уравнений
имеет единственное решение (x, у, а, b — действительные числа, x > 0).
9.34. Решите систему
в области действительных чисел.
9.35. Решите уравнение