Чтение онлайн

является тождеством и степень многочлена R(x) меньше степени многочлена Q(x).

Обобщенная теорема Виета. Для корней х1, х2, ..., хn уравнения

а0хn + a1xn - 1 + ... + аn - 1x + аn = 0

имеют место формулы:

Для уравнения a0xn + a1xn - 1 + ... + аn = 0 с целыми коэффициентами а0, а1, ... , аn верна теорема: если уравнение имеет рациональный корень p/q , то p числитель является делителем свободного члена аn, а знаменатель q — делителем коэффициента а0.

В частности, если а0 = 1, то уравнение может иметь только такие целые корни, которые являются делителями свободного члена аn.

8.1. Решите уравнение

(x - 4,5)4 + (x - 5,5)4 = 1.

8.2. Решите уравнение

(4x + 1)(12x - 1)(3x + 2)(x + 1) = 4.

8.3. Докажите, что уравнение

x^2 - 3у^2 = 17

не имеет решений в целых числах.

8.4. Найдите все целые решения уравнения

x^2 - 6xу + 13у^2 = 100.

8.5. Найдите остаток от деления многочлена x99 + x^3 + 10x + 5 на многочлен x^2 + 1.

8.6. Найдите все целочисленные решения уравнения

2x^2у^2 + у^2 - 6x^2 - 12 = 0.

8.7. В уравнении

x4 + аx^3 + bx^2 + 6x + 2 = 0

один из корней равен 3 + 1. Найдите остальные корни уравнения, если а и b — рациональные числа.

8.8. При каких значениях а оба корня уравнения

x^2 - (а + 1)x + а + 4 = 0

отрицательны?

8.9. Найдите соотношение между а, b и с, если корни уравнения

x^3 + аx^2 + bx + с = 0

образуют геометрическую прогрессию.

8.10. Известно, что уравнение x^3 + px + q = 0 имеет корни 1, 2, 3. Выразите сумму 1^2 + 2^2 + 3^2 через p и q.

8.11. При каких а и трехчлен х^3 + ax + 1 делится на двучлен x - без остатка и частное от деления при всех x больше нуля?

8.12. Остатки от деления многочлена относительно x на x - 2 и x - 3 равны соответственно 5 и 7. Найдите остаток от деления этого многочлена на (x - 2)(x - 3).

8.13. Найдите все действительные значения p и q, при которых х4 + 1 делится на x^2 + рх + q.

8.14. Докажите, что многочлен

x^2n + 1 - (2n + 1)хn + 1 + (2n + 1)хn - 1,

где n — натуральное число, делится на (x - 1)^3.

8.15. Определите p и q так, чтобы многочлен

6х4 - 7х^3 + рх^2 + 3х + 2

делился без остатка на x^2 - x + q.

Равенства. Тождества. Два математических выражения, соединенных знаком =, образуют равенство.

Примеры равенств:

а^2 + b^2 = с^2, 3 = 3, 3 = 5,

sin^2 x + cos^2 x = 1,

Числовое равенство может быть истинным (верным) или ложным (неверным). Равенство 3 = 3 истинное, равенство 3 = 5 ложное.

Буквенное равенство при различных значениях входящих в него букв также принимает одно из двух значений: «истина» или «ложь». Например, равенство а^2 + b^2 = с^2 при а = 3, b = 4, с = 5 истинно, а при а = 3, b = 4, с = 6 ложно. Равенство sin^2 x + cos^2 x = 1 истинно при всех действительных значениях x, а равенство sin x = 3 всегда ложно.