Чтение онлайн

В левой части уравнения выносим за скобки все, что возможно (в случае уравнения (5) мы можем вынести за скобки произведение sin x cos x). В результате получим уравнение

sin x cos x (a1 sink– 1 x + a2 sink– 2 x cos x + ...

... + ak– 2 sin x cosk– 2 x + ak– 1 cosk– 1 x) = 0,

распадающееся на совокупность уравнений

sin 2х = 0,

a1 sink– 1 x + a2 sink– 2 x cos x + ...

... + ak– 2 sin x cosk– 2 x + ak– 1 cosk– 1 x = 0,

первое из которых решается просто (см. с. 77), а пути решения второго уравнения показаны в случае 1).

Пример 2. Решить уравнение

sin4 x cos x– 2 sin^3 x cos^2 x– sin^2 x cos^3 x + 2 sin x cos4 x = 0.

Левую часть уравнения разлагаем на множители:

sin x cos x (sin^3 x– 2 sin^2 x cos x– sin x cos^2 x + 2 cos^3 x) = 0. Получаем совокупность уравнений

sin x = 0, cos x = 0,

sin^3 x– 2 sin^2 x cos x– sin x cos^2 x + 2 cos^3 x = 0.

Решения первых двух уравнений даны на с. 77. Третье уравнение подробно рассмотрено в примере 1.

Системы тригонометрических уравнений. Предположим, что, преобразовывая систему тригонометрических уравнений, мы пришли к системе

Если переписать эту систему в виде

то, складывая и вычитая полученные уравнения, придем к выводу, что

Решили ли мы систему? Оказывается, нет. Решить систему — значит, найти все ее решения, а из поля нашего зрения выпало такое очевидное решение как x = 3/2, у = /4 (ни при каком целом n из выражения /4 + 3n/2 нельзя получить 3/4).

В чем же ошибка? Ошибка очень проста: переходя от первоначальной системы к выражениям относительно x + у и x– у, мы должны были сохранить их «независимость», которая присутствовала в исходной системе. Вместо этого мы «связали» их введением общего целочисленного переменного n.

Правильным было бы такое решение:

откуда

x = /4 + (2т + n), у = - /4– /2 (2т– n).

Прежде чем приступать к решению задач, ознакомьтесь с введением к главе 9.

Решите уравнения:

13.1. 1 + sin 2x + 22 cos 3x sin (x + /4) = 2 sin x + 2 cos 3x + cos 2x.

13.2.

13.3.

13.4. tg 2x tg 7x = 1.

13.5.

13.6. 2 tg 3x– 3 tg 2x = tg^2 2x tg 3x.

13.7. sin^3 x + cos^3 x + 1/2 sin 2x sin (x + /4) = cos x + sin 3x.

13.8. 4 tg 4x– 4 tg 3x– tg 2x = tg 2x tg 3x tg 4x.

13.9. Найдите решения уравнения

лежащие в интервале (0, 2).

13.10. Решите уравнение

sin (x– ) = sin x– sin .

13.11. Найдите решения уравнения

|cos 2x| = |sin^2 x– а|

(а — действительное число), удовлетворяющие неравенству

0 <= x <= 2.

Решите уравнения:

13.12.

13.13. (tg x + sin x) 1/2 + (tg x– sin x) 1/2 = 2 tg 1/2 x cos x.

13.14. ctg 2x + 3 tg 3x = 2 tg x + 2/sin 4x.

13.15. sec x^2 + cosec x^2 + sec x^2 cosec x^2 = 1.

13.16.

13.17. 4 sin x + 2 cos x = 2 + 3 tg x.

13.18. cos x = cos^2 3x/4.

13.19. sin 4x[2 + ctg x + ctg (/4– x) = 22(1 + sin 2x + cos 2x).