Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы
Шрифт:
13.20. sin 4x sin x– sin 3x sin 2x = 1/2 cos 3x + (1 + cos x) 1/2 .
13.21. sin 4x = m tg x, где m > 0.
13.22. sin x/2 (sin x + sin 2x + ... + sin 100x) = 1/2 sin 101x/2.
13.23. sin^2 x + sin 2x sin 4x + ... + sin nx sin n^2x = 1.
13.24. 4 cos x– 2 cos 2x– cos 4x = 1.
13.25.
13.26. sin^3 x + cos^3 x = 1.
13.27. cos^2 3x + 1/4 cos^2 x = cos 3x cos4 x.
13.28. При каких значениях а уравнение
1 + sin^2 ax = cos x
имеет единственное решение?
Решите системы:
13.29.
13.30.
13.31.
13.32.
13.33.
13.34.
13.35.
13.36.
13.37.
13.38.
13.39. Найдите все пары чисел x, у, которые удовлетворяют уравнению
tg4 x + tg4 у + 2 ctg^2 x ctg^2 у = 3 + sin^2 (x + у).
13.40. Решите уравнение
sin^2 x + 1/4 sin^2 3x = sin x sin^2 3x.
13.41. Решите уравнение
cos x + cos у– cos (x + у) = 3/2.
13.42. Найдите все пары чисел а и b, при которых для любых x и у, удовлетворяющих условию x + у = а (где x /= /2 + n, у /= /2 + n, n, m = 0, ±1, ±2, ...), верно равенство tg x + tg у + tg x tg у = b.
13.43. Найдите все пары чисел x и у, которые удовлетворяют уравнению
13.44. Решите уравнение
sin x + 2 sin 2x = 3 + sin 3x.
13.45. Решите уравнение
sin x (cos x/4– 2 sin x) + cos x (1 + sin x/4– 2 cos x) = 0
13.46. Решите уравнение
13.47. Найдите все значения x, удовлетворяющие одновременно следующим уравнениям:
cos 6х + cos 8х = 0, cos Зх = 2 sin^2 2х
при условии, что |x| < 5.
13.48. Решите уравнение
13.49. Решите уравнение
13.50. Решите уравнение
2 tg x + tg x/2 + 4 ctg 2х = ctg Зх.
13.51. Решите уравнение
Глава 14
Тригонометрические неравенства
Решите неравенства:
14.1. |sin x| > |cos x|.
14.2. 1 - sin x + cos x < 0.
14.3. sin x– З cos x < 0.
14.4. 2 cos 2х + sin 2х > tg x.
14.5. cos x tg 2х <= 0.
14.6. 6 + cos 2х + 13 cos x >= |5 - 2 cos 2х– 6 sin^2 x– З cos x|.
14.7. Найдите решения неравенства
sin 2х > 2 sin^2 x + (2 - 2) cos^2 x,
лежащие в интервале (0, 2).
14.8. При каких значениях , 0 <= <= , уравнение
2х^2 - 2(2 cos - 1)x + 2 cos^2 - 5 cos + 2 = 0 имеет различные действительные корни? Исследуйте знаки корней.
Решите неравенства:
14.9.
14.10.
14.11.
14.12. tg x tg 3x < -1.
14.13.
14.14. Найдите все значения x из интервала 0 < x < , удовлетворяющие неравенству
14.15. Докажите, что при любом а имеет место неравенство